вторник, 2 мая 2017 г.

О математике просто за пять минут

Гильмуллин М.Ф.
доцент кафедры математики и прикладной информатики ЕИ КФУ, 
кандидат педагогических наук.

О МАТЕМАТИКЕ ПРОСТО ЗА ПЯТЬ МИНУТ
(МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОПЫТЫ)

(Открытая лекция в «Детском университете», 28.02.16.)

  1. Скачать оригинал статьи: 
  2. Скачать презентацию: 
  3. Скачать лекцию для презентации: 
  4. Скачать вопросы и задания: 
Для многих математика это числа, фигуры, расчеты и графики, разобраться в которых не просто. На самом деле это совсем не так.
Математика это язык. Как научиться разговаривать и думать на этом языке, чтобы было просто, наглядно, понятно, привле­кательно?
Было время, когда объясняли математику так:

     Теперь часто объясняют вот так:








Я попытаюсь объяснить математические законы, как говорят, на пальцах. Знаете ли вы, что когда-то люди считали на пальцах? И это было не зазорно, а большая помощь в вычислениях. Пальцы рук можно использовать как математический инструмент.
Вот посмотрим некоторые волшебные приёмы арифметики. Так раньше называли науку и практику вычислений в числах.


Знаете ли вы правило умножения на 9 с помощью пальцев?

Сделайте вот так. Загибаешь тот палец, номер которого, считая слева, умножается на 9. 

1х9=9 (загибаешь 1-й палец, осталось 9 пальцев справа, ответ 9)
2х9=18 (загибаешь 2-й палец, осталось до него 1, после него 8 пальцев, ответ 18)
3х9=27 (загибаешь 3-й палец, осталось до него 2, после него 7 пальцев, ответ 27) и т.д.
Как видите, тут вообще всё просто.


Такие маленькие хитрости или полезные советы в сленге называют «лайфхаками» (lifehack жизнь + взлом, из IT-лексикона). По-русски близкие слова «смекалка», «рецепт», «находка».

Поиск закономерностей дело всей жизни математика. Будем учиться и этому.


Перед вами 5 фигур. 4 из них подчиняются определённой закономерности, а одна  нет. 
Какая это фигура? И почему?



Самое первое, чтобы вы научились замечать это красота числовых закономерностей. Когда-то великий Пифагор сказал: «Всё есть число», измеряя числами всё существующее.


«Математика царица наук, а арифметика царица математики», сказал великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, заметив всесильность математических законов, основанных на числах.


Великий русский математик Андрей Николаевич Колмогоров писал, что радость математического открытия он познал рано, подметив в возрасте пяти лет такую закономерность:

1 = 12, 1 + 3 = 22, 1 + 3 + 5 = 32, 1 + 3 + 5 + 7 = 42, и так далее.





Хотя это свойство натуральных чисел было известно еще древним грекам и Пифагору: сумма любого количества нечетных чисел, начиная с 1, всегда дает точный квадрат этого количества (квадратное число, как они называли).
Оформим это свойство квадратных чисел, как процесс заполнения квадратов. Как видите, прибавляя к 1+3, получим квадрат из 4-х точек, прибавляя еще 5, получим квадрат из 9 точек, и т.д.

Сейчас поиграем в десятки.


Как вы думаете, сколько будет десятков, если 1 десяток умножить на 2 десятка? 
А сколько сотен?



Вот вы знаете, что 5х5 (5 в квадрате) равно 25 (квадратиков).


А как быстро вычислить 15х15 (ещё один «лайфхак»)? Посмотрите на этот рисунок. Часть квадратиков закрашена одним цветом (белым), другая часть красным, третья желтым, которая должна быть вырезана и не считается. 


Эту красную часть 5х10 мы вырежем и приклеим в продолжение белой части, как показано на рисунке. Тогда получится прямоугольник 10х20 (1 десяток на 2 десятка) и ещё квадрат 5х5. Получим 2 сотни и 25, то есть 225.
Таким образом, получается правило: число десятков умножаем на число, увеличенное на 1, и приписываем 25.

Например, 25х25 = 625 (2х3 = 6). 35х35 = 1225 (3х4 = 12).
*5 х *5 = * (* + 1)25

Сколько будет 45х45?


Ну а теперь поговорим немного о фигурах. Посмотрите на рисунок. 




Как вы думаете, кто эти люди и что они делают? Вот вам такая же верёвочка. Сможете ли вы построить прямой угол? Или проверить, например, будет ли угол стола прямым углом.


Таким приёмом пользовались уже древние египтяне при построении своих пирамид, при проведении границ земельных участков. Чтобы строительство пирамид шло по плану, египтяне приглашали специалиста (землемера), называвшегося гарпедонаптом, буквально «натягивателем веревок».
Завяжем на верёвке 12 узлов: 2 конца свяжем вместе, 11 узлов на равных расстояниях от концов, получится 12 равных отрезков. Построим треугольник с натянутыми сторонами в 3, 4, 5 отрезков. Тогда между сторонами в 3 и 4 отрезка получится прямой угол. Можете это проверить чертёжным треугольником с прямым углом.
Это свойство прямоугольных треугольников основано на знаменитой теореме Пифагора: квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов. В данном случае, 9+16=25.
Вы можете и в некоторых книжках найти такие занимательные и наглядные математические опыты.


Вопросы

1.            Сможете ли найти сумму чисел 1+3+5+7+9+11+13+15+17+19. На вычисления даётся 15 секунд.

2.            Как вы думаете, сколько будет десятков, если 6 десятков умножить на 5 десятков? А сколько сотен?

3.            Сколько будет 35х35? Попробуйте объяснить это рисунком.

4.            Как с помощью верёвки длины 120 см построить прямой угол? Это возможно.


Задания

1.            Будем так считать на пальцах:
Большой:         1, 9,      17,           
Указательный: 2, 8, 10, 16, 18,   
Средний:         3, 7, 11, 15, 19,    
Безымянный:   4, 6, 12, 14, 20,   
Мизинец:         5,     13,       21,…
Назовите, на каком пальце окончится счёт до 2017, но не считая.


2.      В бассейне с горизонтальным дном площадью 1 гектар содержится 1 миллион литров воды. Можно ли в этом бассейне проводить соревнования по плаванию?

3.         Вырежьте из бумаги круг. Найдите центр, считая, что его положение вы не знаете.
     


4.  Не вычерчивая треугольник со сторонами 4, 5, 6, ответьте, будет ли он прямоугольным.
     


Литература
  1. Берендс Э. Математические пятиминутки / Перевод с нем. Н.А. Шиховой. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2013. 368 с.
  2. Болховитинов В.Н., Колтовой Б.И., Лаговский И.К. Твое свободное время. Занимательные задачи, опыты, игры. М.: Детская литература, 1975. 464 с.
  3. Литцман В. Весёлое и занимательное о числах и фигурах / Перевод с нем. И.Б. Погребысского. М.: Гос. изд-во физико-математической литературы, 1963. 276 с.

Комментариев нет: