Находки в юбилейном году двух королей математики (К 225-летию Н.И. Лобачевского и 240-летию К.Ф. Гаусса)

М. Ф. Гильмуллин

Елабужский институт Казанского Федерального университета

Фасад главного здания Казанского
Федерального университета

2017 год подарил мне удивительные встречи и находки, которые проливают свет на события давно минувших дней в истории alma mater — Казанского университета.

В апреле этого года мне посчастливилось участвовать в работе VIII Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура», посвященной 240-летию со дня рождения К. Ф. Гаусса в городе Тольятти. Одним из выделяющихся пленарных докладов было выступление доктора наук, профессора отделения славянской филологии Гёттингенского университета имени Георга-Августа, действительного члена и бывшего вице-президента Академии наук в Гёттингене, почётного доктора Института русского языка имени В. В. Виноградова РАН Вернера Лефельдта (Lehfeldt, Werner) «Карл Фридрих Гаусс и русский язык» [7].

Вернер Лефельдт — Почетный доктор
Казанского университета

Доктор Вернер Лефельдт имеет непосредственные научные связи с нашим университетом, он — почетный доктор Казанского федерального университета (2012).

Наше общение на почве научных интересов по изучению истории наук имело продолжение. По возвращении в Гёттинген, профессор любезно отправил мне копии некоторых архивных документов, связывающих Лобачевского и Гаусса, а также Казанский университет и Королевское общество наук в Гёттингене. Как известно, величайший математик всех времён и народов, с неофициальным титулом «король математиков», Карл Фридрих Гаусс учился и работал в Гёттингенском университете, был Директором Гёттингенского Общества (академии) наук.

                 Письмо К. Ф. Гаусса Королевскому обществу наук Гёттингена (от 23 ноября 1842 г.)

Николай Иванович Лобачевский не имел такого титула. Более того, при жизни его величайшее творение — неевклидова геометрия — осталось непризнанным. Со второй половины XIX века, после признания, доказательства непротиворечивости, подтверждения неевклидовой реальности физического мира, она ставит Н. И. Лобачевского в первые ряды первооткрывателей «королевы наук». Более того, с неё начинается в истории период современной математики. А первое и единственное прижизненное признание научных заслуг (неявно — неевклидовой геометрии) Лобачевского принадлежит Гауссу. Оно отражается в нижеследующем письме Гаусса Королевскому обществу (от 23.11.1842) с предложением избрать Н. И. Лобачевского членом-корреспондентом. Что и было сделано вскоре.

Приведем его текст.

Der Königlichen Societät

erlaube ich mir zum Correspondenten unserer Gesellschaft vorzuschlagen

den Kaiserlichen Russischen Staatsrath N. Lobatschefski [Lobatschewski]

Professor in Kasan

einen der ausgezeichnetesten Mathematiker des Russischen Reichs.

Göttingen den 23 November 1842                                     gehorsamst

                                                                                                     Gauβ

mit Vergnügen beistimmend

Den Vornamen habe ich bisher nur geschrieben als mit dem Anfangsbuchstaben N. (namentlich Nicolaus) bezeichnet für den Könner.                                                        G.

Hausmann Laungenbech Lonzak Benecke Marks Weber Wöler Hubum H. Ritter Hoerk Berthold

Archiv                      

Akad. d. Wiss.              

Göttingen                  

Ниже приводится перевод этого письма.

Королевскому обществу

смею себе позволить предложить членом-корреспондентом нашего общества наук

Императорского Российского статс-советника Н. Лобачевского,

профессора в Казани, одного из выдающихся математиков Российской империи.

Гёттинген 23 ноября 1842                                               Честь имею

                                                                                                     Гаусс

с удовольствием присоединяемся

Вместо имени я до сих пор написал только начальную букву Н. (по имени Николаус) указал для знатоков                                                    Г.

Xаусман Лангенбек Лонзак Бенеке Маркс Вебер Вёлер Хубум Г. Риттер Гёк Бертольд

Архив                    

Академии наук            

Гёттинген                 

Это письмо-предложение приводится также в замечательном исследовании переписки Гаусса с российскими коллегами [17, С. 510], более точно, в разделе Nicolaj Ivanovič Lobačevskij (1792–1856), С. 472–519.

Страницы книги «Carl Friedrich Gauβ und Russland», С. 510-511.

В левом нижнем углу письма Гауссом приписано примечание о букве Н, которая (N) в верхнем тексте означала первую букву имени Лобачевского. Об этом написано и в работе К.-Р. Бирман [1, С. 322].

«Гаусс, с известной его добросовестностью, оставил открытым вопрос об имени Лобачевского и попытался его выяснить. Это ему удалось, как видно из следующего письма секретарю Геттингенгского общества И. Ф. Л. Хаусману» (также из архива Геттингенской академии наук):

Кроме того, уважаемый друг, я должен дополнительно уведомить Вас, что имя нашего казанского корреспондента действительно Николай, хотя, по всей вероятности, диплом Вы уже отослали, и это дополнение опоздало. Небольшое сочинение, в котором имеется полное имя и которое я напрасно искал, вновь попало мне в руки только сегодня».

18 декабря 1842

В(есь) Т(вой)

Гаусс

С этой расшифровкой буквы Н связано другое письмо Гаусса непосредственно Лобачевскому от 19 декабря 1842 г.

Письмо К.Ф. Гаусса Н.И. Лобачевскому (от 19 декабря 1842 г.)

Nachträglich muβ ich Ihnen, mein namhaftester Freund,

Vorhang ausmachen, daβ unser Kasanscher Correspondent misst, lies von Vornamen Nicolaus führt, obwohl im aller Maβe Pheinlichkeit war, das Diplom bereits fortgeschickt haben, und also die Ergänzung post festum kommt. Zum kleinen Spaβ, die den ausgeschriebenen Vornamen dagibt, und den ich prüfen vergeblich suchte, ist mir recht früh zufällig gleich in die Augen gefallen.

Den 19. Dezember 1842.                                                  T. T.

                                                                                                     Gauβ

Мой самый именитый друг, хоть и поздно, я вынужден Вам открыть завесу о том, чего не достает нашему Казанскому члену корреспонденту, который носит имя Николаус. Очень неудобно перед Вами, что диплом успели отправить, поэтому дополнение прибудет после церемонии. Немного весело, но там будет написано имя, которое я пытался добавить. Мне это сразу бросилось в глаза.

19 декабря 1842.

                                                                                                   Гаусс

Речь идёт об исправлении диплома член-корреспондента.

Вопрос об избрании Н. И. Лобачевского членом-корреспондентом Гёттингенского научного общества освещался во многих исследованиях, например, в журнале «Историко-математические исследования» [1, С. 322–325]. «Несомненно, что Лобачевскому доставило глубокое удовольствие признание его Гауссом, слава которого дошла до него и его университетского товарища И. М. Симонова еще за тридцать лет до этого через М. Ф. Бартельса».

Страницы ИМИ, Вып. 18, 1973. С. 322-323.

Подписи в письме принадлежат следующим учёным [1, С. 324]:

·     Хаусман, Иоганн Фридрих Людвиг (1782–1859), минералог, постоянный секретарь Геттингенского общества с 1840 по 1859 г.;

·                Лангенбек, Конрад Иоганн Мартин (1776–1851), анатом;

·                Конради, Иоганн Вильгельм Генрих (1780–1861), медик;

·                Бенеке, Георг Фридрих (1762–1844), специалист по английскому и немецкому языкам;

·                Маркс, Карл Фридрих Генрих (1796–1877), медик;

·                Вебер, Вильгельм Эдуард (1804–1891), физик, друг Гаусса;

·                Вёлер, Фридрих (1800–1882), химик;

·                фон Зибольд, Эдуард (1801–1861), гинеколог;

·                Риттер, Август Генрих (1791–1869), философ;

·                Гёк, Карл Фридрих Кристиан (1793–1877), историк;

·                Бертольд, Арнольд Адольф (1803–1861), зоолог и физиолог.

История взаимоотношений двух «королей математики» не прозрачна и доступна только профессионалам — историкам математики.

Славу создания неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевский (1792–1856) разделяет с К. Ф. Гауссом (Carl Friedrich Gauß, 1777–1855) и Я. Бойаи (János Bolyai, 1802–1860). Все они независимо друг от друга пришли к одной и той же общей системе геометрии.

Н. И. Лобачевский (1792–1856)                 К. Ф. Гаусс (1777–1855)                             Я. Бойаи (1802–1860)

Считается, что первое сообщение о созданной им новой геометрии Н. И. Лобачевский представил 7 (19) февраля 1826 г. в Отделение физико-математических наук Казанского университета в виде сочинения «Сжатое изложение начал геометрии со строгим доказательством теоремы о параллелях». Оно не было опубликовано. Через три года после этого доклада Лобачевский публикует в журнале «Казанский вестник» своё исследование «О началах геометрии» (1829). Это была первая в мировой печати работа по неевклидовой геометрии.

Н. И. Лобачевский. «О началах геометрии» (1829). Страницы из книги.

Н. И. Лобачевский. «О началах геометрии» (1829). Некоторые геометрические построения.

Встретив непонимание в России, тем не менее, Н. И. Лобачевский не прекратил своей работы над развитием новой геометрии, понимая её чрезвычайное значение. В «Ученых записках Казанского университета» появляются следующие геометрические работы: «Воображаемая геометрия» (1835), «Новые начала геометрии с полной теорией параллельных» (1835–1838).

«Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien» (1840)
«Геометрические исследования по теории параллельных линий»

«Воображаемая геометрия» (1835)

Чтобы познакомить европейских математиков со своими идеями, Лобачевский публикует в Германии на французском языке работу «Géométrie imaginaire» (1837, «Воображаемая геометрия») и на немецком языке книжечку «Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien» (1840, «Геометрические исследования по теории параллельных линий»).

«Так до самой своей кончины Лобачевский вёл борьбу, отстаивая свои идеи, значение которых не смогли оценить его современники. При его жизни было опубликовано только два положительных отклика» [5, С. 24]. Б. Л. Лаптев называет эти имена: профессор Казанского университета П. И. Котельников (1842), и венгерский математик Фаркаш Бойаи (1851).

Янош Бойаи (1802–1860), венгерский военный инженер, результаты своих геометрических исследований по проблеме параллелей опубликовал в 1831 г. (на два года позже Лобачевского) на латинском языке в виде приложения (appendix) курса математики своего отца, Фаркаша Бойаи.

Фаркаш и Янош Бойаи

В октябре 1841 г. Янош Бойаи знакомится с трудом Лобачевского «Геометрические исследования по теории параллельных линий» (1840). Он написал обстоятельные примечания к этой работе. Высоко оценив исследование своего соперника, он утверждал, что нашел доказательство непротиворечивости неевклидовой геометрии, но привести его не смог. Он восхищается мастерством и остроумием доказательства некоторых теорем.

«Был и ещё один отзыв, высказанный в частной переписке и ставший известным значительно позднее. Речь идёт об оценке К. Ф. Гаусса, пришедшего к неевклидовой геометрии раньше и независимо от Лобачевского. Познакомившись с упомянутом выше небольшим сочинением «Geometrische Untersuchungen», изданным в Германии, он был восхищён им, о чём написал своим друзьям. Однако в печати с поддержкой идей Лобачевского он не выступил, хотя и предложил избрать его, не уточняя причину, членом Гёттингенского Общества наук (академии), директором которого состоял, что и было сделано в ноябре 1842 г.» [5, С. 25].

По некоторым данным, примерно в 1818 году, Гаусс первым построил основы неевклидовой геометрии и поверил в её возможную реальность. Однако за всю свою жизнь он ничего не опубликовал на эту тему. Он опасался быть непонятым из-за того, что развиваемые им идеи шли вразрез с догматом евклидовости пространства в доминирующей в то время кантовской философии.

Интерес к неевклидовой геометрии проявился в Европе после посмертного опубликования в 1863 г. переписки К. Ф. Гаусса с некоторыми учёными [3, С. 9; 14, С. 65]. Лишь в своих дневниках и в письмах близким друзьям он мог высказаться по поводу неевклидовой геометрии. Приведем отрывки из этих писем.

Например, в письме астроному Г. Х. Шумахеру (от 28 ноября 1846) Гаусс так оценил труд Лобачевского: «Вы знаете, что уже 54 года (с 1792 г.) я разделяю те же взгляды (с некоторым развитием их, о котором не хочу здесь упоминать); таким образом, я не нашёл для себя в сочинении Лобачевского ничего фактически нового. Но в развитии предмета автор следовал не по тому пути, по которому шёл я сам; оно выполнено Лобачевским мастерски, в истинно геометрическом духе. Я считаю себя обязанным обратить Ваше внимание на это сочинение, которое, наверное, доставит Вам совершенно исключительное наслаждение» [12, С. 119–120; 2, С. 4].

Существуют различные точки зрения историков математики на роль Гаусса в открытии неевклидовой геометрии. Так, казанский профессор В. В. Вишневский пишет: «Хотя по инициативе Гаусса в 1843 г. состоялось избрание Лобачевского в члены-корреспонденты Геттингенского королевского научного общества (это несомненно означает, что работы Лобачевского Гаусс оценивал весьма высоко), он всё-таки остался верен себе и нигде официально не отозвался о его сочинениях, хотя, несомненно, Лобачевский в моральной поддержке Гаусса весьма нуждался, как, впрочем, и молодой Бояи». «Гаусс действительно открыл для себя неевклидову геометрию, но к числу её первооткрывателей его отнести никак нельзя, поскольку открыть нечто в науке — значит сделать это нечто достоянием общества, чему он никак не способствовал, находясь в отношении авторов работ по неевклидовой геометрии в позиции молчаливого соглашателя» [2, С. 4].

В письме к Герлингу (от 5 февраля 1844) содержится признание К. Ф. Гаусса о своей инициативе: «Однако относительно экспериментального обоснования, указанного в т. 17 Крелля, на стр. 303, я не нашёл ничего в работе от 1840 г.; я должен буду поэтому решиться написать по этому поводу непосредственно г-ну Лобачевскому, избрание которого в члены-корреспонденты нашего общества состоялось около года тому назад по моей инициативе. Может быть, он мне пришлёт «Казанский вестник»» [12, С. 119]. Здесь же он говорит, что Лобачевский написал ему благодарственное письмо по поводу избрания в общество.

Письмо К.Ф. Гаусса к Герлингу (5 февраля 1844)             Письмо К.Ф. Гаусса к Шумахеру (28 ноября 1846)

Обширный сборник разнообразных документов, относящихся жизни Н. И. Лобачевского был составлен Л. Б. Модзалевским [9]. Например, это самое единственное письмо Лобачевского Гауссу приводится в этом сборнике под № 487 [8, С. 638–639].

Из письма Н. И. Лобачевского к К. Ф. Гауссу от 7 июня 1843 г. [8, С. 638–639; 9, С. 450-451]:

Ihr gütiges Schreiben erhielt ich zugleich mit dem Diplom als Mitglied der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen. Ich ersuche Sie ergebenst der Königl. Gesellschaft meinen Dank zu bezeugen und derselben zu versichern, dass ich mir es für eine grosse Ehre schätze,zu den correspondirenden Mitgliedern derselben zu gehören, und ich wünsche dass jede meiner Arbeiten im gelehrten Fache würdig sein möchte, mit den ausgezeichneten Schriften der Gesellschaft vereinigt zu warden, ich werde wenigstens alle meine Bemühungen dahin richten.

Verzeihen Sie mir, das ich so lange zögerte Ihnen zu antworten, der unglückliche Brand der Stadt trägt die Schuld davon, dieser hatte sowohl meine Gesundheit als auch meine persönlichen Angelegenheiten etwas zerstört, und mich ausserdem noch mit einer Menge besonderer Dienstgeschäfte überhäuft.

Empfangen Sie bei dieser Gelegenheit zugleich die Versichererung meiner ausgezeichnetsten Hochachtung, mit welcher ich für immer verbleibe

Eur. Hochwohl geboren ergebenster

N. Lobatschewsky

Перевод:

Ваше любезное письмо я получил одновременно с дипломом члена-корреспондента Королевского Общества наук в Геттингене. Покорнейше прошу Вас засвидетельствовать мою благодарность Королевскому обществу и заверить его, что я почитаю за большую честь принадлежать его членам-корреспондентам и выражаю желание, чтобы каждая из моих работ в научной области была бы достойна быть на одном уровне с превосходными трудами Общества; я во всяком случае направлю на это все мои усилия.

Простите мне, что я так долго медлил с ответом, злополучный пожар города ответствен за это; этот последний несколько расстроил мое здоровье, так же как и мои личные дела, и помимо этого обременил меня еще массой особых служебных забот.

Пользуясь удобным случаем, прошу также принять заверения в моем исключительном почтении, с которым я остаюсь навсегда

Вашего высокородия признательнейший

Н. Лобачевский

Подлинник письма хранится в библиотеке Геттингенского университета [8, С. 648].

В обращении письма написано: Высокородный высокочтимый господин надворный советник.

После подписи: Имп. русск. действ. статский советник, профессор и ректор Казанского университета; член-корреспондент Королевского научного общества в Геттингене.

В конце письма: Казань, 7 июня 1843 г.

Одновременно с дипломом Лобачевский получил письмо от секретаря Геттингенского общества И. Ф. Л. Гаусмана от 1 декабря 1842 г., извещавшего его об избрании. О получении диплома и письма секретаря он сообщил Совету университета 23 января 1843 г. следующим образом:

23 января 1843

В Совет императорского

Казанского университета

Прилагаю полученный мною диплом из Геттингенского ученого общества и письмо г. секретаря Гаусмана в этом обществе, прошу покорнейше об избрании моем внести в послужной список при делах Совета.

Ректор Университета

Лобачевский

Текст диплома и письма приводится у Л. Б. Модзалевского [9, С. 453–455]. Диплом написан на латинском языке. Как видим, в дипломе, в самом деле, имя Лобачевского не указано, а только буква «Н».

Диплом, выданный Н. И. Лобачевскому Геттингенским Королевским обществом наук на звание члена-корреспондента этого общества 

11(28) ноября 1842. Геттинген

Serenissimi Britanniarum Princissis

Adolphi Friderici

Ducis Cantabrigiensis

Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Praesidis

Autoritate.

Cum omnium inter se litterarum mutuae sint utilitates, mutua auxilia et adiumenta, nec ulla facile alterius ope et fructu carere possit: tum multo magis ene disciplinae, quae multarum rerum observatione, caussarum innestigatione et multi temporis experientia continentur, multorum ingeniorum et animorum vires consociatos sibi postulant. Societas Regia scientiarum Gottingensis severiorum et subtiliorum litterarum carumque disciplinarum, quae vulgo pancorum fludiis trequentari solent, ad vitae tamen publicae privataeque utilitates fructuosae, liberalique ingenio et honestu opera dignissimae sunt, in crementa et ornamenta fludio aliquo praecipuo persiquitur, eo consilio at quiequid singulorum sodalium doctrina et ingenio indagatum et inventum fuerit, in resp. Litterariae usus modo vulgetur, indeque iis doctrinarum copiis opibusque, quae communi usu habentur, accessio nowa et anotus fiat. Cum autem non nihi coniunctus multorum doctirum virorum partim consiliis partim studiis et voluntatibus se consilium hoc suum consequi posse indicet: sodalium ea suffragiis indiciis Virum doctissimum 

N. Lobatschewskium,

Russiarum Imperatori a consiliis status,

Professorem Kasanensem,

amicum sibi et familiarem litterarum commerciis coniunctum optat, legit, et his ipsis litteris publice declaratum esse vult, haeque indicii sui et benevolentiae testificatione id se consqunturam esse sperat, ut communia studia diligenter ille colat, etiam respectu ad societatis vel exemplum et auctoritatem vel honorem habito, utque inventa, observata vel animadversa cum ea communicet, Societatis utilitatibus, existimationi et famae, pro virili consultat; amicicia et benevolentia Socius, complectatur.

Scr. Gottingae, die XXIII. Nov. MDCCCXLII. 

Подлинный диплом подписал: Carolus Fridericus Gauss, Societ. Reg. Scient. h. t. director; скрепил: Jo. Fried. Lud. Hausmann, Soc. Reg. Scient. Sodalis et a litteris ejus secretis.

Перевод:

По повелению 

Светлейшего Принца Британского

Адольфа Фридриха

Герцога Кембриджского

Президента Геттингенского Ученого королевского общества

Хотя все науки взаимно помогают друг другу, взаимно друг друга пользуют и украшают и с трудом могут обойтись без взаимной помощи и поддержки, но особенно относится это к тем дисциплинам, которые, будучи основаны на наблюдении за многими предметами, на исследовании причин и многовековом опыте, требуют объединенных усилий многих умов и талантов. Геттингенское Ученое королевское общество особо ревностно стремится к развитию и процветанию наук точных и высоких и тех дисциплин, которым обычно только немногие посвящают труд свой, но которые приносят великую пользу для жизни частной и общественной и достойны честных усилий благородного ума. Оно желает, чтобы все, что знанием и талантами отдельных членов его исследовано и открыто, было обнародовано для пользования Ученого содружества и чтобы доступ к научным достижениям, предпринятым ради общей пользы, был для всех невозбранен. А так как это решение свое может оно осуществить только соединенными силами многих ученых мужей, по советам их и по ревностному их желанию, то голосованием и указанием членов своих мужа ученейшего

Н. Лобачевского

Статского Советника императора Русского

Казанского профессора

выбирает оно своим другом и сочленом в научном общении, о чем публично объявляет этим письмом, надеясь, что этим выражением своей оценки и своего благоволения оно достигнет того, что он будет усердно заниматься общей работой, и уважая пример Общества, его авторитет, честь и достоинство, будет делиться с ним своими открытиями, наблюдениями и мыслями, будет содействовать всячески пользе, весу и славе Общества; будет относиться к сочленам с дружелюбием и благоволением.

Написано в Геттингене 23 ноября 1942 г.

Карл Фридрих Гаусс, директор Ученого королевского общества.
Иоганн Фридрих Людвиг Гаусман, член королевского общества и его секретарь.

Лев Борисович Модзалевский (1902–1948)

Для нас интересен еще такой факт. Ленинградский литературовед и архивист Лев Борисович Модзалевский (1902–1948) начал собирать материалы для биографии Лобачевского по инициативе Комиссии по истории АН (КИАН) в 1942 г. в Казани, куда в годы войны была эвакуирована значительная часть АН СССР. В результате его многолетней работы появился фундаментальный труд «Материалы для биографии Н. И. Лобачевского»: на 827 страницах большого формата опубликованы 622 документа, различные воспоминания о Лобачевском, богатый справочный материал [9].

Но судьба его привела и в наш город [10]. В 1942 году Л. Б. Модзалевский вместе с семьей был эвакуирован в Елабугу. Он стал заведующим кафедрой русской литературы вывезенного к нам Воронежского университета. В Елабуге Л. Б. Модзалевский с семьей прожил зиму-весну 1943 г. по улице Азина, дом 109.

В сентябре 1943 г. он переехал в Казань, был ученым секретарем Музейной и Архивной комиссий АН СССР (1943–1948). В мае 1944 г. он вернулся в Ленинград.

Таким образом, существовавшие связи Гаусса и Лобачевского установлены из разных источников. Тем не менее, возникают новые данные, уточняющие взаимоотношения этих двух титанов математики.

Остальные документы, предоставленные доктором В. Лефельдтом, представляют собой переписку между Казанским университетом и Королевским Обществом Гёттингена по случаю празднования столетия со дня рождения Н. И. Лобачевского (1893) и столетия открытия неевклидовой геометрии (1926). История связей этих двух крупнейших научных центров мира — тема нашего следующего исследования.

Литература

1. Бирман К.-Р. Об избрании Н.И. Лобачевского членом-корреспондентом Геттингенского научного общества // Историко-математические исследования. Вып. 18. 1973. С. 322–325.

2. Вишневский В. В. Вклад Бояи, Гаусса и Лобачевского в открытие неевклидовой геометрии (К 200-летию со дня рождения Яноша Бояи) // Известия высших учебных заведений. 2002. № 11 (486). С. 3–7.

3. Изотов Г. Е. Казанское физико-математическое общество. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2003. 32 с.

4. Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций / Б. Л. Лаптев и др.; под ред. А. Н. Колмогорова и А. П. Юшкевича. М.: Наука, 1981. 270 с.

5. Лаптев Б. Л. Николай Иванович Лобачевский, 1792–1856. Казань: Изд-во Казанского ун-та, 2001. 76 с.

6. Летников А. В. О теории параллельных линий Н. И. Лобачевского // Математический сборник, издаваемый Московским математ. об-вом. М.: Типография А. И. Мамонтова, 1868. Т. 3, отд. 2. С. 78.

7. Лефельдт Вернер. Карл Фридрих Гаусс и русский язык // Математика и математическое образование: сборник трудов VIII Международной научной конференции «Математика. Образование. Культура» (к 240-летию со дня рождения К. Ф. Гаусса), 26–29 апреля 2017 г., Россия, г. Тольятти / под общ. ред. Р. А. Утеевой. Тольятти: Изд-во ТГУ, 2017. С. 16–21.

8. Лобачевский Н. И. Научно-педагогическое наследие. Руководство Казанским университетом. Фрагменты. Письма / П. С. Александров и др. М.: Наука, 1976. 664 с.

9. Материалы для биографии Н. И. Лобачевского / Сост. и ред. Л. Б. Модзалевский. М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1948. 827 с.

10. Модзалевская Т. Л. Лев Борисович Модзалевский. Санкт-Петербург, 2009. 65 с.

       http://www.kmay.ru/pub_files/n18.pdf

11. Норден А. П. Гаусс и Лобачевский // Историко-математические исследования. Вып. IX. М., 1956. С. 145–168.

12. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию её идей / Ред. А. П. Нордена. М.: Гостехиздат, 1956. 527 с.

13. Празднование Императорским Казанским Университетом столетней годовщины дня рождения Н. И. Лобачевского. Казань: Типо-литография Императорского Университета, 1894.

14. Празднование Казанским университетом столетия открытия неевклидовой геометрии Н. И. Лобачевским. Казань: Физ.-мат. об-во при КГУ, 1927.

15. Рыбкин Г. Ф., Федоренко Б. В. Геттингенское общество наук и Н. И. Лобачевский // Историко-математические исследования. Вып. IX. М., 1956. С. 107–110.

16. Черников Н. А. К истории открытия Лобачевским неевклидовой геометрии // Письма в ЭЧАЯ, 2002. № 3 (112).

17. Karin Reich, Elena Roussanova. Carl Friedrich Gauβ und Russland. Sein Briefwechel mit in Russland wirkenden Wissenschaftlern / Unter Mitwirkung und mit einem Beitrag von Werner Lehfeldt // ABHANDLUNGEN DER AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ZU GÖTTENGEN. NEUE FOLGE. Band 16. DE GRUYTER. 2014. 905 p.

       https://www.degruyter.com/view/product/174236

18. Werner Lehfeldt. Carl Friedrich Gauβ und Russische Sprache // Studien zur Wissenschafts — und zur Religionsgeschichte. Herausgegeben von der Akademie der Wissenschaften zu Göttengen / Redaktion Werner Lehfeldt // ABHANDLUNGEN DER AKADEMIE DER WISSENSCHAFTEN ZU GÖTTENGEN. NEUE FOLGE. Band 10. DE GRUYTER. P. 275–376.

       https://www.degruyter.com/view/product/129107 376 p.