понедельник, 10 сентября 2012 г.

История математических инструментов и их применения в обучении математике


Мерная вилка лесовода
Гильмуллин М.Ф, Новоженина Т.Е.

Исторически сложилось, что практическим предназначением математического образования является создание и применение инструментария, необходимого человеку в его повседневной деятельности. Каждому человеку приходится выполнять некоторые расчеты, измерения, построения, пользоваться общеупотребительными приборами и инструментами, таблицами. Поэтому одной из целей обучения математике в современной школе объявляется овладение знаниями, необходимыми в практической деятельности, для изучения смежных дисциплин, для продолжения образования [6]. Хотя в требованиях к математической подготовке учащихся и в содержании обучения это отражается недостаточно.

Мы исходим из положения, что понимание учителем существования математических закономерностей в приложениях должно найти отражение в преподавании математики в целом. При этом условии учитель сможет мотивировать у учащихся необходимость отыскания этих закономерностей и их применения для решения конкретных практических задач.

В программах и планах средней школы по математике для проведения практических занятий, связанных с моделированием и измерительными работами, специальные часы теперь не отводятся. Когда-то в советской школе такие часы были, особенно в период перехода к политехническому обучению [3]. Уже в 20-30-х годах XX в. был издан ряд книг для учителя и брошюр о геодезических работах (Г.А. Владимирский, М.А. Знаменский, Н.А. Попов и др.).

В журнале «Математика в школе», начиная с 1937 г., был помещен ряд статей об измерительных работах. Позже, в 50-х годах, в комплексе разнообразных умений и навыков учащихся, были выделены умения пользоваться таблицами, счетными приборами, владеть чертежными и измерительными инструментами, производить измерения и обрабатывать их результаты [5].

Уже в начальной школе проводились простейшие работы на местности: провешивание прямых, измерение отрезков, упражнения в развитии глазомера. В основной школе программа перечисляла их характер и давала учителю право устанавливать сроки работ.

Мензула
В учебниках геометрии (например, Н.Н. Никитина и др.) давались описания некоторых инструментов (астролябиямензулаэккер). Разрабатывалась система учебного оборудования по математике, включающая также приборы и инструменты, например, «Типовые перечни учебно-наглядных пособий и учебного оборудования для общеобразовательных школ» (1977). В соответствии с этим перечнем, в состав учебного оборудования по математике для средней школы входили: приборы, модели, инструменты; печатные средства обучения; экранные средства обучения. В некоторых современных учебниках геометрии (А.Д. Александрова, Л.С. Атанасяна) можно встретить рисунки тех же самых инструментов, но их изучение не предполагается. В тематическом планировании, в теме «Инструменты для вычислений и измерений» (V-VI класс) даются только начальные сведения о вычислениях на калькуляторе, таблицы и диаграммы, линейка и транспортир.

Таким образом, одним из путей реализации прикладной направленности обучения математике в школе являлось применение математических инструментов. С течением времени, в связи с изменением целей математического образования, они все больше выходили из употребления. Возможно, их исключение из практики обучения являлось методологической ошибкой.

Применение инструментов решает многие задачи обучения. Осознание этого факта может прийти в процессе изучения истории их изобретения и применения на практике. Модели, приборы, инструменты могут быть использованы в различных формах обучения и на разных этапах занятий:
  • при введении новых понятий и доказательстве теорем,
  • при решении задач,
  • при выполнении лабораторных и практических работ.
Такие исследования проводил, например, Р.А. Хабиб [8]: «Если внимательно присмотреться к принципу устройства приборов, если попытаться определить те геометрические свойства, которые лежат в основе их схем, то нетрудно убедиться, насколько тесно связано конструирование этих приборов с геометрической задачей на построение.

Идея использовать в обучении геометрии конструктивные приборы и инструменты весьма плодотворна: она показывает школьникам геометрические свойства в действии. Не менее важен и обратный переход: от геометрических свойств – к инструментам и приборам, которые могли бы реализовать эти свойства».
Агрометр Бибикова

Многие изучаемые в школе теоремы лежат в основе математических инструментов. Например, описанный Г.М. Михайловым [5] «делительный угол» основан на свойстве биссектрисы угла треугольника. Агрометр Бибикова использует равновеликость треугольников с одним и тем же основанием, вершины которых находятся на прямой, параллельной основанию. Диаметромер для определения диаметров круглых тел опирается на свойства проекций катетов на гипотенузу. При помощи инверсора строятся фигуры, соответствующие данным в данной инверсии, а при помощи пантографа – гомотетичные фигуры. Логарифмическая линейка опирается на свойства логарифмов чисел. Нониус и поперечный масштаб основаны на подобии треугольников. Гомотетия находит применение при мензульной съемке.

Пример номограммы
Основная идея каждого инструмента наиболее выпукло представляется и легче усваивается на его самодельном варианте. Поэтому необходимо привлекать учащихся к их изготовлению. В условиях отсутствия часов на такие виды работ выходом является изучение этих вопросов в рамках факультативных и элективных курсов. Теория планиметраномографияанаглифы представляют прекрасный материал для работы математического кружка. Теория математических инструментов является также основой для выполнения качественных творческих работ учащихся.

Опыт использования математических инструментов имеется и в зарубежной школе. Например, Б.П. Эрдниев писал: «Поучительно также обратить внимание на то, что в Японии обучение вычислениям на соробане (японских счетах) является полноправной темой курса математики в начальной школе. Педагоги этой страны напрямую связывают успешное овладение детьми математическими знаниями с хорошей постановкой вычислений на счетах» [9].

Фактически теория инструментов выделяется как специальный раздел математики – «инструментальная математика» [2]. Инструменты конструируются для проведения часто встречающихся вычислительных и измерительных операций и осуществляют их с известной степенью точности. Тем не менее, эта точность практически приемлема. Главное, использование инструментов упрощает трудоемкие операции, требующие опытных вычислителей. Инструменты могут обслуживаться людьми, не понимающими существа вычислительного процесса. Но в учебных целях необходимо изучение и математических основ инструмента.

Теория и конструирование инструментов привлекали внимание многих выдающихся ученых (Б. Паскаль, Г.В. Лейбниц, П.Л. Чебышев, А.Н. Крылов). Б.Н. Делоне написал «Краткий курс математических машин». Я.И. Перельман дал описания многих полезных инструментов.

Большое внимание истории и теории инструментов уделял и журнал «Историко-математические исследования». В течение XVII-XX веков практической разработке вычислительных средств, приборов, инструментов и машин уделялось большое внимание и в России, и за рубежом.

Были построены счетные машины от арифмометра до ЭВМ, для измерения площадей – планиметры, для определения длины кривых – курвиметры, для решения дифференциальных уравнений – интеграторы. Развивались новые отрасли вычислительной математики, например, номография [1].

Студентов физико-математических факультетов педагогических институтов теории и практике математических инструментов теперь тоже не обучают. Тем не менее, они в своей будущей профессиональной деятельности обязательно столкнутся с этими вопросами. Поэтому, по мере возможности, их надо познакомить хотя бы с теми инструментами, названия которых встречаются и в современных школьных учебниках. Сделать это можно было бы в курсе «Теории и методики обучения математике», а более подробно в специальных курсах, курсах по выбору. Истории изобретения математических инструментов нужно уделить внимание и в курсе «Истории математики».

К сожалению, сведения о происхождении и математических основаниях инструментов и приборов нигде не собраны. Они рассеяны в различных книгах и журналах. Книг для учителей и учащихся, написанных специально на эту тему, нет. Некоторые подобные сведения, посвященные в основном средствам измерений на местности, содержатся в книгах М.А. Знаменского [4], В.Г. Прочухаева [7] и др.

Когда-то большое внимание развитию инструментальной математики уделялось и за рубежом. Книга Ф.А. Виллерса «Математические инструменты» [2] представляет собой справочного характера монографию по некоторым типам математических приборов. Она не содержит описания немеханических, то есть оптических, электрических, электронных устройств.

М.Ф. Гильмуллин,
История математических
инструментов
Поэтому возникла идея собрать в одной книге материалы об истории возникновения математических инструментов и их применения в обучении математике. Предполагалось ответить на следующие вопросы о каждом конкретном инструменте: кем и когда изобретен, на каких принципах основан, где применялся, как назывался, использовался ли в школьной практике и может ли быть использован в настоящее время.

Относительно некоторых инструментов удалось ответить не на все вопросы. Мы не ставили цели полностью описать их устройство и дать инструкции по применению. Без слишком больших технических подробностей мы разъяснили принцип работы и теорию инструмента, так как только знание теории позволяло полностью использовать его возможности. Более подробные описания даны в указанных источниках. В них же содержатся и некоторые методические указания для работы учителя. Понятно, что такая работа должна быть органически связана с программным материалом. Мы пока не ставили задачу описания методики применения математических инструментов.

Наша работа ограничивается теорией и практикой применения математических инструментов. Четкого определения этого понятия нет. Поэтому сначала уточним, что мы предполагаем под понятием «математический инструмент». Практическая полезность математики основана на том, что ее предметом являются количественные отношения и пространственные формы реального мира, которые выражаются в числах и фигурах. Любое применение математики связано с этими основными понятиями. Будем исходить из определения, что математические инструменты – это технические средства, применяемые для изучения предметов и явлений через их числовые и геометрические характеристики. Они используются для вычислений, измерений и построений фигур. Из этих соображений мы проводим их классификацию: вычислительные, измерительные и конструктивные инструменты.

В результате измерения получаются числа, выражающие математические свойства: длина, площадь, объем и др. Хотя все измерительные инструменты выдают некоторые числа, эти характеристики могут выражать физические, химические и др. свойства. Поэтому некоторые физические приборы и инструменты (например, амперметр, манометр) мы не относим к математическим. При этом физические основы приборов значения не имеют: они могут быть механическими, оптическими, электрическими, электронными устройствами.

Некоторые инструменты применяются в практике многих наук (например, угломерные инструменты). Также на стыке наук используются многие вычислительные средства «на бумажном носителе»: таблицыграфикиномограммы и др. Так как они отражают числовые характеристики математических моделей реальных процессов, их можно считать математическими инструментами.

Конструктивные инструменты используются для построений фигур, как на бумаге, так и на местности. К ним же относятся чертежные инструменты. Условно можно отнести к ним и геометрические моделистереочертежи.

Некоторые инструменты являются комбинированными, например, используются и как измерительные, и как конструктивные. Большинство приборов и инструментов для работы на местности являются таковыми.

Более подробно описываются те инструменты, которые когда-то использовались в процессе обучения математике, но не только в средней школе. Среди них есть как простейшие инструменты (линейка, циркуль), так и сложнейшие оборудования (ЭВМ, интегриметр).


Логарифмическая линейка

Приведем примеры названий статей: абак, арифмометр, логарифмическая линейка, счеты, астролябия, буссоль, планиметр, эклиметр, инверсор, мензула, пантограф, эккер. Даны описания некоторых редко встречающихся инструментов: агрометр Бибиковагармонический анализаторгиперболическая доскагониометркипрегельСтатьи в книге расположены в алфавитном порядке, содержат ссылки на другие статьи. Для каждого инструмента дано объявленное нами описание и библиографический указатель. Описаны более сотни инструментов. Приведем для примера статьи из нашего сборника, посвященные астролябии и пантографу.

Астролябия
Астролябия – классический угломерный инструмент. Известен со времен астрономов Гиппарха (II в. до н.э.) и Птолемея (II в. н.э.). Слово «астролябия» происходит от греческих слов astron (звезда, по лат. astrum) и lambanw (брать, схватывать, по лат. labium – губа). Это показывает, что в древности астролябия применялась для определения углов на небосводе. Позднее астролябия превратилась в основной геодезический инструмент для измерения углов, расположенных в горизонтальной плоскости, проведения параллельных и перпендикулярных линий, для съемки плана местности и др. [4]. До XVIII в. он служил также для определения широт и долгот.

Астролябия состоит из металлического лимба с градусным делением и неподвижно скрепленной с ним парой диоптров. В центре лимба вращается алидада с подвижной парой диоптров. Лимб при помощи втулки надевается на штатив. Более совершенные астролябии имеют укрепленную на алидаде зрительную трубу для визирования на далекое расстояние и могут быть снабжены компасом или буссолью, верньером для отсчета долей градуса, лимбом для измерения углов в вертикальной плоскости.

Измерение углов при помощи астролябии заключается в съемке показаний на лимбе угломера после его наведения с точки стояния на предметы, между направления на которые требуется определить угол. Разность этих показаний дает величину измеряемого угла.

В учебных целях астролябия используется давно. В 50-е годы XX в. Главучтехпром Министерства просвещения РСФСР выпускал школьную астролябию. Модели астролябии можно изготовить своими силами. Для этого выпускались даже шкалы лимба и инструкции по их изготовлению [3]. Самодельные астролябии могут быть изготовлены также из двух ученических транспортиров, дающих полный лимб [4].

Пантограф
Пантограф – инструмент для вычерчивания гомотетичных фигур (рисунков, планов, карт). С помощью пантографа производят подобное копирование. Такой механический прибор изобрел в 1603 г. Христофор Шейнер и назвал его пантографом, основываясь на греческие слова pan (все) и grajw (пишу), буквально «тот, что все пишет».

Пантограф может иметь различные конструкции. Его теория описывается во многих учебниках геометрии, например, у А.П. Киселева. Обычная конструкция пантографа содержит параллелограмм, сторонами которого служат металлические стержни, могущие на шарнирах вращаться вокруг вершин. Одна из вершин укрепляется неподвижно, она исполняет роль центра гомотетии. На продолжении одной из сторон устанавливается штифт, описывающий заданную фигуру. Тогда карандаш, установленный на отрезке между этими точками на расстоянии, определяемом коэффициентом гомотетии, описывает подобную фигуру [4]. Установление этого факта – элементарная геометрическая задача.

Самодельный пантограф, который можно изготовить из пяти планок равной длины из детского набора «Конструктор», описан Г.М. Михайловым [5]. На этих планках просверлены отверстия, расположенные на равных расстояниях друг от друга. Четыре планки образуют ромб, а положение пятой регулируемой планки определяется коэффициентом подобия.

Надеемся, что творчески работающие учителя смогут использовать наши материалы в процессе обучения математике в школе и вузе.



Список литературы

1. Брадиc В.М. Средства и способы элементарных вычислений / В.М. Брадис. – М.: Учпедгиз, 1954. – 230 с.
2. Виллерс Ф.А. Математические инструменты / Ф.А. Виллерс. – М.: Изд-во иностранной литературы, 1949. – 302 с.
3. Дорф П.Я. Измерения на местности: пос. для учит. мат. V-VII кл. / П.Я. Дорф, А.О. Румер. – М.: Изд-во АПН РСФСР, 1953.
4. Знаменский М.А. Измерительные работы на местности: пос. для студ. физ.-мат. фак-ов пед. ин-ов / М.А. Знаменский. – М.: Учпедгиз, 1960. – 192 с.
5. Преподавание математики: сб. статей / под ред. А.И. Фетисова. – М.: Изд-во АПН РСФСР, 1957. – 252 с.
6. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев: Математика. 5-11 кл. / сост. Г.М. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. – М.: Дрофа, 2002. – 320 с.
7. Прочухаев В.Г. Измерения в курсе математики средней школы: пос. для уч. / В.Г. Прочухаев. – М.: Просвещение, 1965. – 140 с.
8. Хабиб Р.А. О новых приемах обучения планиметрии / Р.А. Хабиб. – М.: Просвещение, 1969. – 158 с.
9. Эрдниев Б.П. Не выбрасывайте русские счеты / Б.П. Эрдниев // Математика в школе. – 1988. – №5. – С. 53.
10. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / А.Я. Блох, Е.С. Канин и др.; Сост. Р.С. Черкасов, А.А. Столяр. – М.: Просвещение, 1985. – 336 с.
11. Мантуров О.В. Толковый словарь математических терминов / О.В. Мантуров, Ю.К. Солнцев, Ю.И. Соркин, Н.Г. Федин. – М.: Просвещение, 1965. – 540 с.
12. Большая Советская Энциклопедия: 3-е изд. / гл. ред. А.М. Прохоров. – М.: Изд-во «Советская энциклопедия», 1970-1978.



Опубликовано:

Проблемы историко-научных исследований в математике и математическом образовании: Материалы Международной научной конференции / Отв. ред. А.Е. Малых; Перм. гос. пед. ун-т. – Пермь, 2007. – С. 218-223.