понедельник, 10 сентября 2012 г.

Вопросы идентификации исторических периодов развития математики


Педагогическое значение истории математики в обучении школьников и в подготовке учителей доказано многочисленными научно-методическими исследованиями. Если школьный учитель знает, как формировались математические знания, и понимает значение историко-математических методов в обучении, то он может координировать учебный процесс, сделать его более эффективным. Поэтому важно в педагогическом вузе осуществлять соответствующую историко-математическую подготовку будущих учителей. Нужно дать студентам такие знания по истории математики, которые необходимы, в первую очередь, учителю математики, и формировать методические умения их применения в процессе обучения математике.

Изучение истории науки важно для будущего учителя не только с точки зрения методики обучения, но и ее тесного переплетения с методологией математики. Известные историки математики, например, К.А. Рыбников, А.П. Юшкевич, уделяли большое внимание методологическим вопросам в преподавании истории математики.

Е.М. Вечтомов в монографии «Метафизика математики» [2] отмечает, что осмысление математики, как и любого фундаментального явления, невозможно без знания и понимания истории этой науки. Но история математики является одной из частей истории человеческой деятельности. Преобладающие общественные и экономические условия определяют непосредственно или опосредствованно любые общекультурные явления, в том числе и развитие математики. Без описания этих условий невозможно адекватно объяснить, почему в изучаемой исторической эпохе развивались те или иные разделы математики, создавались некие теории, зарождались проблемы и идеи.

Поэтому любой экскурс по истории математики начинается с общей характеристики исторической эпохи. Какие сведения при этом сообщать обучаемому, зависит от концепции автора. Анализируя различные учебники и очерки истории математики, например [6, 7, 9], можно выделить следующие общеисторические факты, предваряющие изучаемый этап в развитии математики:

1) хронологические данные;

2) географические сведения;

3) общественный строй;

4) экономическая деятельность;

5) уровень развития культуры, науки, техники;

6) основные религии;

7) важнейшие экономические, политические, научные события;

8) известные личности;

9) научные школы;

10) система образования.

Но даже один и тот же автор по-разному характеризует различные периоды развития математики.

Наш опыт преподавания истории математики в педвузе показывает, что для студентов достаточно сложно соотносить историю развития математики с общей историей. Поэтому они затрудняются как в датировке математических достижений, так и в определении исторических эпох, в которых происходила деятельность великих математиков. Поэтому нас интересует вопрос формирования у будущих учителей умения исторической идентификации – отождествления, соотнесения изучаемого периода развития математики, или даже истории отдельного математического факта с соответствующей исторической эпохой. Такое умение важно с точки зрения достижения целей методической системы историко-математической подготовки учителей математики.

С.В. Белобородова [1] выделяет следующие группы целей: воспитание научного мировоззрения, формирование общей, методической и математической культуры будущего учителя, воспитание интереса к математике и ее истории. Эти цели влияют на содержание и методы обучения истории математики. Общеисторические сведения важны особенно при линейном (хронологическом) построении основного курса истории математики.

С.В. Белобородова говорит, что на лекциях необходимо отмечать наиболее важные открытия той или иной эпохи, обрисовывать господствовавшие настроения и стремления людей. Только в этом случае история математических открытий будет связана в сознании студентов с конкретными историческими эпохами, что позволит будущим учителям не ошибаться в датах при изложении на уроках историко-математических сведений. Обязательный анализ исторической эпохи она выделяет как одну из особенностей стиля изложения таких сведений, который необходимо формировать у будущих учителей. Такой анализ используется ей при изложении темы «Начало формирования алгебры».

В исследовании А.Е. Томиловой [10] разработаны критерии отбора содержания курса истории математики: методологической, общекультурной, профессионально-педагогической направленности, согласованности с действующими программами по математике педвуза и минимизации. Критерий общекультурной направленности предполагает, что в содержание образования должен войти материал, показывающий связь прогресса математики с развитием культуры вообще, а также с требованиями практики, способствующий «очеловечиванию» математики.

При этом критерий минимизации означает, что ограничение по времени при большой смысловой нагрузке требует включения только необходимого минимума информации. Поэтому из огромного объема фактического материала общей истории нужно выбрать самые существенные признаки эпохи. А.Е. Томилова относит их к информационному модулю соответствующего раздела содержания.

Используя эти сведения, далее заполняется таблица «Древо математики», состоящая из девяти разделов: эпоха и время; проблемы науки, техники, производства; основные достижения литературы, живописи, музыки, философии; проблемы математики; персоналии; знаменательные задачи математики. Основные разделы таблицы заполняются по материалам лекций, другие используются для самостоятельной работы студентов.

Еще раньше, аналогичные дидактические материалы для учителей математики были предложены в газете «Математика» О. Епишевой и Е. Волковой [4]. В них схема развития математики строится в соответствии с известными четырьмя периодами развития математики, предложенными А.Н. Колмогоровым.

Эта схема содержит шесть разделов, которые при параллельном использовании полностью характеризуют соответствующий период развития математики. В частности, раздел «Эпоха и время» создает исторический фон, помогает соотнести изучаемую эпоху развития математики с историей развития человечества. Раздел «Области деятельности людей» показывает, как развивалась и совершенствовалась человеческая деятельность. Эта деятельность порождала проблемы, для решения которых требовалось развитие математических методов. Эти проблемы составляют третий раздел «Постановка проблем».

Следующий раздел «Развитие математики» содержит достижения самой математики, полученные в процессе решения задач практики и математической теории. Раздел «Персоналии» содержит информацию о странах, в которых были получены эти достижения, имена наиболее известных математиков и их сочинения. Последний раздел «Примеры исторических задач» содержит самые известные математические задачи, относящиеся к описываемому периоду.

Составление таких синоптических (сводных, дающих обзор всех частей сложного целого) таблиц является одним из эффективных форм историко-математической подготовки будущих учителей. Отметим одну полезную энциклопедию, которую можно использовать в этих целях – это «Всемирная история в датах и событиях» («Larousse») [5]. Ее таблицы располагаются в виде двух параллельно развертывающихся столбцов «История» и «Культура и наука», и содержат наиболее значимые события с древнейших времен до конца XX века.

Сведения из таких таблиц можно будет использовать для наполнения исторического фона исследуемого математического явления. В качестве примера рассмотрим жизнь и творчество Пифагора (ок. 564-473 гг. до н.э.). Какие известные исторические события можно было бы использовать для характеристики этой эпохи?

Вавилонский царь Навуходоносор захватывает Иерусалим (587 г.). Лидийский царь Крез становится правителем всех народов Анатолии (561-546 гг.). В Лидии чеканят первые известные в мире монеты (561 г.). Кир, основатель Персидской державы, побеждает Креза, захватывает Лидию (546 г.), покоряет Вавилон (539 г.). Строится храм Аполлона в Коринфе (540 г.).

Персидский царь Камбиз завоевывает Египет (525 г.). При царствовании Дария (522-486 гг.) Персидская империя распространяется от Инда до Дуная. На индийского царевича Гаутаму снисходит просветление, он становится Буддой и начинает проповедовать новое учение (525 г.). Пифагор – современник Конфуция (551-479 гг.).

Римляне изгоняют этрусского царя: начало возникновения Римской республики (509 г.). Марафонская битва (490 г.) – первая победа греков над персами. Саламинская битва (480 г.) – Афины громят персидский флот. Создание «Пятикнижия» (V в. до н.э.). Создание философского учения о четырех основах мира: воды, огня, воздуха, земли (V в. до н.э.). Эсхил пишет трагедию «Персы» (472 г.).

Даже перечисление этих фактов подтверждает, что Пифагор жил в яркую эпоху, богатую историческими событиями. Они могут быть использованы для идентификации времени жизни Пифагора в общей истории. Более того, многие из этих событий непосредственно коснулись его самого. Пифагор учился у египетских жрецов, был пленен во время завоевания Камбизом, был в плену в Вавилоне, посетил Индию, перенял знания халдейских жрецов и браминов, в Кротоне, на юге Италии, он организовал свою знаменитую школу – пифагорейский союз.

Почти все эти сведения содержатся даже в школьных учебниках истории, кроме сведений о жизни и творчестве Пифагора. Поэтому еще одной формой историко-математической подготовки будущих учителей мы предлагаем сопоставительное изучение школьных учебников истории и математики. Учителя могут и должны опираться на опыт изучения учащимися общей истории.

Сравним, например, учебники «Математика» [3] и «История древнего мира» [8] для 5 класса. Они по историческому периоду возникновения математических понятий соответствуют друг к другу почти полностью.

Две главы «Натуральные числа», «Дробные числа» учебника [3] содержат в основном такие математические понятия, происхождение которых относится к четырем разделам учебника [8]: «Первобытный мир», «Древний Восток», «Древняя Греция», «Древний Рим». Тем не менее, ни один учебник не содержит упоминаний общих исторических фактов. В «Математике» есть сведения о появлении счета, вавилонских клинописных числах, римских цифрах, землемерии в Древнем Египте и Древней Греции, процентах в Вавилоне и Риме, измерении углов в градусах в Вавилоне.

В «Истории древнего мира», хотя и прослеживается история развития культуры древних народов, история математики совсем не упоминается. Здесь называются имена некоторых античных ученых и их наук: геометрия Евклида, логика Аристотеля, также упоминаются некоторые математические познания египтян и вавилонян (иероглифы, клинопись, календарь), Академия Платона, Ликей Аристотеля.

Изучение почти каждой темы математики в 5 классе имеет непосредственное отношение к истории древнего мира и может сопровождаться историческими комментариями. Например, первая тема «Обозначение натуральных чисел» имеет богатую историю еще до того, как возникла десятичная позиционная запись чисел, с которой начинается эта тема. Во второй теме «Отрезок. Длина отрезка. Треугольник» может быть использован материал не только из древнегреческой геометрии, но и с момента формирования понятия фигуры в древнейшие времена, с которых начинается история первобытных людей.

Аналогичное сопоставление могли бы провести будущие учителя учебников «Математика» и «История средних веков», изучаемых в 6 классе. Конечно, речь совсем не идет о согласовании программ по математике и истории. Такой анализ необходим для использования возможностей истории науки для решения задач методики обучения математике. Ознакомление студентов с такой методикой должно происходить, в первую очередь, в курсе «Истории математики».


Список литературы
1. Белобородова С.В. Профессионально-педагогическая направленность историко-математической подготовки учителей математики в педвузах: дис. …канд. пед. наук / С.В. Белобородова; Москов. город. пед. ун-т. – М., 1999. – 163 с.
2. Вечтомов Е.М. Метафизика математики: Монография / Е.М. Вечтомов. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006. – 508 с.
3. Виленкин Н.Я. Математика: Учебник для 5 кл. / Н.Я. Виленкин, В.И. Жохов, А.С. Чесноков, С.И. Шварцбурд. – М.: Мнемозина, 2005. – 280 с.
4. Волкова Е. Развитие математики: этапы, проблемы, достижения / Е. Волкова, О. Епишева // Математика. – 1996. – №37. – С. 11-13.
5. Всемирная история в датах и событиях («Larousse») / Пер. с франц. В. Румянцева. – М.: Радуга, 2002. – 631 с.
6. История математики с древнейших времен до начала XIX столетия: в трех томах. – Т.1. С древнейших времен до начала Нового времени / Под ред. А.П. Юшкевича. – М.: Наука, 1970. – 352 с.
7. Рыбников К.А. История математики / К.А. Рыбников. – М.: Изд-во МГУ, 1974. – 456 с.
8. Саплина Е.В. История древнего мира: Учебник для 5 кл. / Е.В. Саплина, Б.С. Ляпустин, А.И. Саплин. – М.: Дрофа, 2003. – 288 с.
9. Стройк Д.Я. Краткий очерк истории математики / Д.Я. Стройк. – М.: Наука, 1978. – 336 с.
10. Томилова А.Е. Методика отбора содержания курса истории математики и его реализации в педагогическом вузе: дис. …канд. пед. наук / А.Е. Томилова; Поморский гос. ун-т им. М.В. Ломоносова. – Архангельск, 1998. – 230 с.


Опубликовано:
Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. Выпуск 10: Периодический межвузовский сборник научно-методических работ. – Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. – 356 с.