понедельник, 10 сентября 2012 г.

Формирование исторического компонента профессионального опыта и культуры будущего учителя математики (завершающая статья цикла исследований по истории математики)


Важнейшим условием, определяющим успешность образовательного процесса в современных учебных заведениях, является культура и положительный опыт профессиональной деятельности учителя или преподавателя, то есть профессионала, организующего и направляющего этот процесс. В новых условиях наибольшее значение имеют не столько приобретаемые в период обучения знания и связанные с ними умения и навыки осуществления действий с математическими объектами, сколько опыт познания математики, в том числе осуществляемый средствами самой математики, достаточный для самообразования и культуросообразного использования имеющихся знаний. Тогда основной целью высшего образования становится оказание помощи студентам в формировании и развитии у них профессиональной культуры и опыта.
Поскольку мы говорим о будущем учителе математики общеобразовательной школы, то есть сегодняшнем студенте, то ядро его профессиональной культуры, так или иначе, определяется знанием основных математических объектов школьной математики и основ методики обучения математике. В этом случае, характеризуя его профессиональную культуру, имеет смысл для уточнения пользоваться термином «математико-методическая культура» будущего учителя.
Математико-методическая культура учителя нами понимается как специфический вид культуры профессионала, основная деятельность которого – обучение математике в общеобразовательной или профессиональной школе, в том числе – вузе. Естественно рассматривать такой вид культуры как систему, и с этих позиций возникает вопрос о её структуре, то есть о её относительно самостоятельных компонентах, отдельных элементах и связях между ними. Для этого в качестве отправной позиции примем модель культуры профессионала, предложенную и обоснованную А.Л. Жоховым [2], но модифицируем её в соответствии с основным предметом рассмотрения в данной работе – историческим «срезом» этой культуры.
Иными словами, нас будут интересовать вопросы: что, в каком объёме и как необходимо должен усвоить будущий учитель математики из почти необъятного объёма сведений по истории развития математической культуры (включая и математическое образование) под прицелом целесообразного использования всего приобретенного багажа (опыта) в своей будущей профессиональной деятельности. В этом смысле мы и будем употреблять термин «исторический компонент профессиональной культуры будущего учителя математики».
Согласно [2], культура профессионала представляет собой результат взаимопроникновения и взаимного дополнения трех процессов:
-                 ознакомления со сведениями из соответствующей области профессиональных знаний, результат процесса – «информированность», в смысле осведомленности в чём-либо в некоторой сумме единиц информации;
-                 совершенствования операционных основ и средств своей профессиональной деятельности, результат процесса – опыт выполнения необходимых в профессии видов деятельности, или профессиональный опыт. Высшим проявлением опыта можно считать «мастерство», предполагающее, в том числе, и акты творчества. В качестве низшего уровня этого результата примем рутинные действия [6], простое, механистическое воспроизведение чужого опыта или деятельности;
-                 наконец, третий процесс целесообразно назвать «диалогизированием», а точнее «диалогом культур» в смысле М.М. Бахтина [3, 5]. Результат этого процесса обозначим как «взаимопонимание», или «содуховность», которые, по сути, и определяют взаимопроникновение смыслов (увиденного, услышанного, прочитанного) и, в конечном итоге, принадлежность разных людей к одному и тому же типу культуры. Если речь идёт о диалоге с недоступным в данный момент лицом, допустимо говорить о понимании.
Не будем далее развивать наше понимание культуры профессионала в теоретическом плане, приняв его за исходное. Отметим лишь, что сходной точки зрения с таким представлением в той или иной мере согласуются и данные исследований других ученых (В.П. Беспалько, В.М. Монахов, И.С. Якиманская и др.). Дальнейшее развитие математико-методической культуры будущего учителя должно стать сквозной идеей и направленностью профессиональной подготовки. Эффективным средством формирования такой системы у будущего профессионала является использование возможностей истории математики и математического образования.
Естественно, что требует разъяснения и другой термин, использованный в заглавии статьи – профессиональный опыт. Здесь мы идём вслед за В.Д. Шадриковым и принимаем его определение этого понятия, как одну из важнейших подструктур личности профессионала: «Профессиональный опыт – система профессиональных знаний, умений и привычек. Профессиональные знания включают всю усвоенную человеком профессионально необходимую информацию, которая используется при решении всего многообразия задач, стоящих перед ним. Профессиональные умения – это усвоенные человеком познавательные, сенсомоторные, трудовые и иные действия, которые обеспечивают эффективную реализацию функций профессионала. Профессиональные привычки – действия профессионала, ставшие потребностью» [4, с. 164].
Таким образом, понятия профессионального опыта и профессиональной культуры имеют пересекающиеся содержания. Формирование элементов культуры и опыта происходит в тесном взаимодействии. Поэтому мы будем говорить о едином процессе формирования профессиональной культуры и опыта.
Анализ требований к подготовке учителя математики, основанной на формировании профессиональной культуры, позволяет выделить следующие структурные компоненты математико-методической культуры: содержательно-знаниевый; деятельностно-операционный; диалогово-рефлексионный.
Содержательно-знаниевый компонент задается объемом тех математических знаний, опытом познания математики, владение которыми позволит учителю правильно идентифицировать математические объекты, встречающиеся в его профессиональной деятельности.
Деятельностно-операционный компонент характеризуется опытом математической деятельности, умениями и навыками, необходимыми для организации обучения учащихся, достигающего целей формирования их личности средствами математики.
Диалогово-рефлексионный компонент характеризует опыт понимания и способности учителя организовывать культуросообразный процесс обучения учащихся. Культуросообразная деятельность опирается на мотивы, самоопределение и рефлексию, направляется на порождение новых произведений культуры, средств и способов деятельности, признает множественность различных культур и следует логике воспроизводства.
Качества личности, составляющие исследуемые компоненты, нами рассматриваются в историческом аспекте. Для определения исторического компонента профессиональной культуры и опыта учителя математики можно, следуя работе [3], использовать выделенный заместитель элемента познания – указательное местоимение «это». Под «это» понимается попадающий в поле познавательной деятельности учащегося или учителя математический объект: понятие, алгоритм или метод решения задачи, способ рассуждения, метод деятельности, фрагмент теории и т.п.
По аналогии с этим применительно к предмету курса истории математики можно считать, что минимально необходимый уровень математико-методической культуры современного учителя задается его умениями обоснованно и действенно отвечать на следующие вопросы, сгруппированные по двум основным составляющим методики:
I. владение учебным математическим материалом;
II. владение методами обучения и воспитания средствами обучения предмету.
Первая составляющая требует сформированности у учителя следующих умений:
-      давать содержательную характеристику свойств, состава и отношений объекта с другими объектами;
-      отвечать на вопросы о том, зачем это, где и для чего применяется внутри и вне математики, что дало человеку, может дать Вашему ученику;
-      определять, как, когда и с помощью чего познавать это, как возможно развить это, как творить новое в математике;
-      устанавливать, как и где, при разрешении каких ситуаций возникло или возникает это. Кто был у истоков его возникновения? Как объясняет или может объяснить это ученик? В каких задачах это "живёт"? Какова логика становления и развития знаний об этом и способов оперирования с ним?
Вторая составляющая соответствует формированию умений:
-      характеризовать различные методы, приемы, технологии, используемые в обучении математике, их возникновение и опыт использования;
-      моделировать фрагменты уроков и деятельность учащихся с использованием отдельных методов и технологий;
-      использовать отдельные методы и технологии в конкретных условиях деятельности учителя;
-      совершенствовать известные технологии и создавать свои в изменившихся условиях.
Каждое из перечисленных умений относится к некоторым компонентам профессиональной культуры учителя математики и характеризует также их взаимосвязи. Формирование исторического компонента профессиональной культуры мы, по необходимости, связываем с процессом обучения истории математики. Поэтому, по опыту, оно осуществляется в рамках использования методической системы обучения истории математики.
В основании этой методической системы лежит идея мировоззренчески направленного и культуросообразного обучения истории математики. Это означает способствовать формированию у студентов тех качеств личности (мотивационно-ценностные, деятельностно-волевые, образно-знаниевые), которые помогут им успешно решать задачи, возникающие в различных ситуациях профессиональной деятельности.
Цели профессионально направленной историко-математической подготовки будущих учителей обуславливают следующее содержание исторического компонента профессиональной культуры учителя математики:
-      осознание педагогического значения историко-математических знаний как для обучения математике в школе, так и для формирования математико-методической культуры учителя;
-      культуросообразное усвоение предмета истории математики;
-      доведение историко-математических знаний до уровня средств обучения математике, владение ими на уровне деятельности;
-      осознание методологического и мировоззренческого значения историко-математических знаний;
-      понимание диалектического единства исторического и логического в изучении математики;
-      владение историко-математическим анализом учебного материала;
-      умение работать с историко-математическим материалом в целях обучения математике;
-      умение использовать историю математики и математического образования как средство решения современных проблем образования.
Учитывая проведенный выше анализ содержания математико-методической культуры и ее исторического среза, выделим следующие составляющие исторического компонента: содержательно-знаниевая, деятельностно-операционная, диалогово-рефлексионная (см. приложенную Таблицу 1).
Все составляющие являются проекциями соответствующих компонентов математико-методической культуры в направлении историко-математических знаний и деятельности. Так как проектирование осуществляется в трехмерной модели образовательного пространства, то каждая составляющая приобретает новые характеристические свойства и качества («культуросообразные качества»). Определим основные функции введенных составляющих.
Содержательно-знаниевая составляющая выполняет образовательную функцию и является содержательной основой для построения учителем личной методической системы обучения на основе знаний о закономерностях развития математики, а также опыта познания. Критерием ее сформированности является владение теоретическими и практическими знаниями по истории математики на уровне деятельности и средств обучения.
Характеристическими свойствами деятельностно-операционной составляющей является умение усваивать профессионально-значимые историко-математические знания и их применять в решении профессиональных задач. Таким образом, она реализует результативную функцию, заключающуюся в овладении способами построения процесса обучения на основе выводов историко-математического анализа и опыта разрешения методических ситуаций. Владение соответствующими способами деятельности составляет критерий ее сформированности.
Диалогово-рефлексионная составляющая реализует координирующую и ценностно-ориентационную функцию. Она состоит в потребности студентов владеть историко-математическими знаниями и умениями, в побуждении у них интереса к историко-математической деятельности, а также оценивать и корректировать результаты своей деятельности. Критерием сформированности этой составляющей являются доминантные потребности и положительная мотивация к осуществлению своей профессиональной деятельности, наличие представлений об уровне своей математико-методической культуры, собственной системы обучения, основанной на историко-математических знаниях.
Совмещение структур профессиональной культуры и профессионального опыта будущего учителя математики, с учетом культуросообразности обучения истории математики, задает следующую объединенную структурно-интегративную модель обобщенного исторического компонента (см. приложенную Таблицу 2).
Элементарные подструктуры модели – это формирующиеся у студентов и диагностируемые свойства, качества и ориентиры. Их сформированность на некотором уровне обнаруживается в деятельности учащихся или по ее результатам. Они задают направленность на формирование отдельных сторон личностных качеств учащихся, а в совокупности – их профессиональной культуры и опыта, рассматриваемых в их историческом контексте.
Степень выраженности показателей критериев по каждой составляющей является основанием для выделения уровней сформированности исторического компонента профессиональной культуры учителя: начальныйсреднийвысокий. Они характеризуются деятельностью репродуктивного, репродуктивно-творческого и творческого характеров соответственно.
Творческий уровень характеризуется проявлением мотивированного отношения к историко-математической деятельности, поиском новых форм и методов работы на историко-математической основе. Комплекс историко-математических знаний и умений обучающихся усвоен до уровня их практического применения – это знания основных периодов развития математики, их особенностей, технологии применения исторического материала в педагогической деятельности. Приобретен опыт понимания культуросообразной деятельности.
Репродуктивно-творческий уровень характеризуется наличием у студентов мотивов к изучению истории математики и ее использования в школе. Данному уровню сформированности исторического компонента соответствует адекватная самооценка, характерно наличие стиля преподавания, основанного на опыте других педагогов. Воспроизводству знаний они не готовы.
Репродуктивный уровень характеризуется отсутствием у будущих учителей интереса к знаниям по истории математики и возможностям их применения в обучении. Знания поверхностные, формальные, не используются в педагогической деятельности или используются бессистемно. Культуросообразная деятельность у них отсутствует.
В предлагаемой методической системе в качестве основного средства формирования элементов профессиональной культуры используется система учебных ситуаций. Учебная ситуация (УС) – это определенное сочетание условий, которые могут сложиться в учебном процессе стихийно или могут быть созданы преподавателем для достижения намеченных образовательных результатов, используя при этом соответствующие средства [2, с. 204].
Мы используем УС, представляющие интерес с точки зрения формирования исторического компонента профессиональной культуры и опыта. Нами они названыучебными ситуациями профессионального развития (УСПР). Аналогичное понятие УМС (учебная мировоззренческая ситуация) используется в [3, с. 66] – это встречающаяся в процессе обучения или специально создаваемая жизненно важная для ученика ситуация, требующая выбора своей позиции. Она является методическим инструментом включения учащихся в мировоззренческую деятельность, в результате которого приобретается опыт разрешения ситуации и формируется убеждение. В трактовке [4, с. 156] – это аналог социальной ситуации профессионального развития (ССПР).
Формирование элементов профессиональной культуры и опыта будущего учителя математики в процессе обучения истории математики происходит на деятельностной основе. Под историко-математической деятельностью в данном контексте мы понимаем следующую систему деятельностей: ориентировка в УСПР, выбор методов, средств разрешения ситуации и решение задач, созданных ситуацией. УСПР побуждает учащегося к соответствующим действиям. Результатом такой деятельности является приобретение профессионального опыта разрешения соответствующих ситуаций и формирование качеств профессиональной культуры.
Для создания ситуаций при обучении истории математики используется ее учебный материал, органически включая ситуации в учебный процесс. С их помощью студенты вовлекаются в учебную деятельность по разрешению ситуаций. Воздействие на учащихся осуществляется через условия создания ситуаций и через их предметное содержание. Методически важны для преподавателя и студентов этапы понимания и вхождения, выбора или конструирования действий, средств, методов для разрешения ситуаций.
УСПР могут организовываться с помощью серии задач с математическим содержанием, но обогащенные соответствующим образом подобранными развивающими заданиями. Инструментом создания УСПР является произведение культуры (ПК), побуждающее учащихся к самостоятельной познавательной деятельности. Произведениями культуры при обучении истории математики понимаются элементы математики, представленные в любом из его возможных воплощений, например, математические и культурно-исторические тексты, содержащие фрагменты, относящиеся предмету истории математики.
Инструментом обучения способам деятельности в методике обучения истории математике являются учебные исторические задачи (УИЗ). Учебная историческая задача составляется из двух компонентов: некоторого массива содержательных данных и некоторой совокупности заданий для учащихся, согласованных с ПК, предметными данными и несущих в себе какие-либо функции – воспитательные, развивающие или учебные. Поэтому УИЗ рассматриваются как организующее ядро УСПР.
Для описания массива данных обычно используются слова: «Дано», «Известно». Среди учебных заданий должны быть и такие, которые направляют студентов на выработку у себя определенных качеств и способствуют формированию профессионального опыта. В числе таких качеств могут быть группы профессиональных качеств, зафиксированные в нашей структурно-интегративной модели исторического компонента профессиональной культуры и профессионального опыта.
Пример учебной ситуации профессионального развития.
В повседневной жизни человеку иногда приходится сталкиваться с названиями больших чисел. Тем более, вам – учителям придется отвечать на вопросы учеников об этом (например, что такое «триллион», почему его так назвали). Как вы будете это объяснять? Существует ли закономерность в названиях чисел?
Произведение культуры (математической), рассматриваемое в данной ситуации – названия классов натуральных чисел. Данная ситуация возникает при изучении истории развития понятия числа на семинарском занятии, то есть связана с изучаемым программным материалом. Содержательно-методическая числовая линия должна быть прослежена в курсе истории математики. Разрешение данной УС участвует в формировании следующей группы качеств, входящих в разные блоки профессиональной культуры и опыта (перечислим некоторые важные качества):
-      овладение знаниями о происхождении и практическом применении математических объектов, встречающихся в учебных текстах;
-      овладение знаниями о содержательно-методическах линиях школьного курса математики;
-      умение находить в известных источниках обоснованных ответов на вопросы об объектах знания;
-      умение мотивировать введения новых понятий средствами истории математики;
-      умение привлекать историко-математические сведения для установления межпредметных связей;
-      привычка исследования этимологии каждого математического термина; работа с этимологическими словарями;
-      переосмысление знаний, приобретенных при изучении исторических текстов, с позиции учителя математики.
Приведем вариант учебной исторической задачи, соответствующей рассматриваемой УСПР.
УИЗ-1. Известно, что итальянскому путешественнику Марко Поло (1254-1323) приписывается первое применение термина «millionе» – «большая тысяча». Никола Шюке (1445-1500), французский математик и врач, в сочинении «Наука о числах в трёх частях» (1484) по аналогии ввёл термины: биллион, триллион и т.д. до нониллиона.
Задания.
1. Дайте характеристику математических объектов, для которых используются данные термины, и охарактеризуйте закономерность их появления. Определите, что обозначает последний термин. Продолжите, если это возможно, данный ряд терминов и соответствующих объектов.
2. Проанализируйте современное состояние использования данных терминов, изменилось ли оно со времён Шюке, есть ли среди них термины «октиллион», «миллиард», что они означают?
3. Как назывались большие числа у разных народов и в разные времена? Сравните исторические сведения по этому вопросу о славянах, арабах, евреях и других народах (по выбору).
4. Познакомьтесь с системой записи больших чисел Гуго Штейнгауза по его книге «Математический калейдоскоп».
5. В какой области современных знаний и техники человек встречается с необходимостью давать термины большим или маленьким числам, какими терминами в этом случае ему приходится оперировать (вспомните астрономию, информатику, другие области современных знаний)? Объясните с точки зрения общего принципа, что такое «нанотехнология».
Составим перечень используемых типов УСПР и соответствующих УИЗ. Каждый тип определяется ведущей целью (доминантой) – это направленность ситуаций на формирование определенной группы профессиональных качеств будущего учителя математики. Тип УС определяет соответствующий предполагаемый результат учебной деятельности – эффект в формировании или дальнейшем развитии соответствующих ориентиров и качеств или их взаимосвязанных групп.
Рассмотренную выше УСПР и соответствующую УИЗ отнесем к следующему типу.
УСПР-1 (анализ исторически выявленной закономерности, прогнозирование и перенос на современность, возможно в другую область знаний; привлечение исторических сведений для установления межпредметных связей).
Дано: описание известного из истории математического факта, символа, термина, закономерности (как они даны в истории математики).
Задания.
1. Охарактеризуйте, возможно, гипотетически, данный факт с позиций: (а) кто стоял у истоков его возникновения и в какую историческую эпоху, в каких условиях, для удовлетворения каких нужд он возник; (б) можно ли обобщить этот факт, что тогда можно положить в основу?
2. Как с современных позиций называется и характеризуется основание для описываемого обобщения? Где, в каких разделах математики, в других областях знаний встречается такой способ? Сформулируйте общую закономерность данного обобщения и укажите области её применения.
УСПР-2. (Развитие умения искать в известных источниках обоснованные ответы на профессионально важные вопросы об объектах знания, анализировать и сравнивать исторические тексты – содержательно и на базе элементарной логики высказываний).
Дано: описание известного математического факта, понятия, формулы, алгоритма и т.п. в историческом тексте, которое не совпадает с современным (или общепринятым, научным) представлением о нем.
Задания.
1. Охарактеризуйте, данный факт с позиций современной науки (математики) – почему это представление изменилось? Можете ли вы восстановить историю рассматриваемого вопроса? Решен ли вопрос (объяснен ли факт) окончательно? Какие возникли сопутствующие проблемы?
2. Какие важные методологические и методические выводы можно сделать из этого факта? Что важного утеряно, что приобретено?
УИЗ-2. Дано: В современной науке математике понимание аксиомы и постулата закреплено однозначно, и термины используются как тождественные в границах математической теории и логических основ современной математики. В то же время, в их научной трактовке естественно оказался утерянным (лучше сказать – скрытым) общекультурный смысл – история и логика процесса осмысления этих понятий. Так, известно, что в Древней Греции понятия "аксиома" и "постулат" значительно различались между собой.
Итак, для учёных-математиков нет нужды их различать. А для методистов, учителей математики, школьников?
Задания.
1. Прочитайте вдумчиво текст Аристотеля:
«… всякая доказывающая наука имеет дело с тремя [сторонами]: то, что принимается как существующее, именно род, свойства которого, присущие ему сами по себе, рассматривает наука, и общие [положения], называемые аксиомами, из которых, как из первичного, ведется доказательство… Постулат же есть нечто противное мнению ученика или такое, что, будучи [возможно] доказуемым, принимается и применяется недоказанным».
2. Дайте свой ответ на следующие вопросы: (а) Можно ли подвергать сомнению истинность постулата? (б) Что влечет замена постулата другим? (в) Как вы понимаете понятие аксиомы? Можно ли доказать аксиому?
3. Евклид различал аксиомы и постулаты (прочитайте их по любому учебнику истории математики или по «Началам»). (а) Специализированы ли его аксиомы и постулаты на конкретную область знаний (геометрию)? Проанализируйте, например, аксиому «Целое больше своей части». (б) Сформулируйте знаменитый V постулат Евклида и равносильную ему аксиому школьной геометрии. (в) Как с точки зрения аксиоматических теорий можно объяснить попытки доказательства V постулата? Имеет ли право на существование этот постулат? Что означает существование неевклидовых геометрий?
4. Как вы считаете, не будет ли методической ошибкой учителя отказ от сомнения в истинности аксиом?
УСПР-3. (Развитие умения находить в известных источниках тексты методически интересных задач, анализировать исторические задачи и искать основания для их появления).
Дано: формулировка (возможно и решение) исторической задачи, или набор задач в исторически первоначальном варианте.
Задания.
1. Внимательно изучите фабулу задачи? Какие выводы вы можете сделать об исторической эпохе постановки задачи?
2. Какие практические (научные, образовательные) потребности привели к постановке таких задач?
3. Изучите авторский способ решения задачи. Предложите другие методы решения.
4. Проанализируйте задачу с точки зрения возможного использования в процессе обучения в школе. Внесите ее в соответствующий раздел сборника исторических задач.
5. Какие исторические характеристики вы можете внести в синоптическую таблицу развития математики, используя данные задачи.
УИЗ-3. Дано: В папирусе Райнда приведены подряд две задачи:
Задача № 56: «Если пирамида имеет 250 локтей в высоту и сторона ее основания 360 локтей длины, то каково отношение половины основания к высоте?»
Задача № 57: «Дано отношение половины основания к высоте (уклон) и основание. Требуется найти высоту пирамиды».
Для решения задачи могут понадобиться следующие данные:
– единицей измерения длины служил локоть фараона, приблизительно 51,5 см, 1локоть равнялся 7 ладоням, 1 ладонь – 4 пальцам.
– уклон – это также длина катета – основания прямоугольного треугольника, когда другой катет – высота равна единице.
Задания.
1. Решите задачи с опорой на школьные геометрические знания.
2. Охарактеризуйте данные задачи с точки зрения их логической взаимосвязи.
3. Какими потребностями могла быть вызвана первая задача, а вторая?
4. В папирусе Райнда встречаются ещё несколько пар задач, в частности задачи №№ 58, 59, связанные между собой так же, как предыдущие две. Запишите эти задачи в современной форме, решите их и охарактеризуйте их взаимосвязи с позиций полезности и логики.
5. Можно ли на основании данных задач сделать вывод, что необходимость передачи математических знаний следующим поколениям, то есть обучение математике, – один из источников развития математики?
УСПР-4. (Воспроизводство, методическая реконструкция исторических знаний, деятельности, текстов).
Дано: историческое описание вывода некоторой известной формулы, доказательства теоремы, решения задачи, в котором метод явно не усматривается.
Задания.
1. Проанализируйте и реконструируйте данный вывод (метод, доказательство).
2. Попытайтесь выделить общий метод решения таких задач. Известно ли в истории математики дальнейшее использование этого метода.
3. Дать рекомендации по использованию его фрагментов в школе.
УИЗ-4. Дано: В папирусе Райнда встречаются задачи на «исчисление кучи» или «хау-исчисление». Куча здесь понимается как некое количество. Например задача № 26: «Количество и его четвертая часть вместе дают 15. Каково количество?» Традиционное решение в египетском духе гласит: «Начни с 4. Получишь 5. 15 подели на 5. Результат умножь на 4».
Задания.
1. Проанализируйте решение задачи и выделите метод решения подобных задач. Решите задачу для другого числа, например, 20.
2. Данный метод решения задач, сводящихся к линейным уравнениям, получил название в Средневековой Европе название «правила ложного положения». Сформулируйте это правило. Покажите, что оно основано на идее пропорциональности.
3. Можно ли задачи на исчисление кучи назвать зачатками алгебры?
4. Составьте методические рекомендации по применению правила ложного положения в школе.
УСПР-5. (Построение «теории познаваемого объекта»).
Дано: 1) некоторый набор основных утверждений, возможно, относящихся к разным временным эпохам и областям практических или математических знаний; 2) несколько исследуемых утверждений.
Задания.
1. Определите, какие утверждения из основного набора относятся к одной предметной области знаний (к одной системе понятий, к одному кругу задач, методов их решения, к одной теории и т.п.); объясните ваши действия, назовите предметную область знаний для большинства выделенных утверждений. Определите, если это возможно, к каким периодам развития математики – различным, одному – они относятся.
2. Определите, какие из исследуемых утверждений относятся к той же предметной области, объясните свой вывод.
3. Ответьте на вопрос: нельзя ли в выделенном наборе утверждений указать основные обосновывающие утверждения, из которых остальные, хотя бы некоторые, следуют? Если можно, то с опорой на интуицию отберите минимальный набор обосновывающих утверждений.
4. Докажите какие-нибудь из изолированных утверждений на основе выбранного вами минимального набора обосновывающих утверждений.
Вы построили теорию познаваемого объекта.
5. Используя справочники или пособия по истории математики, определите, когда исторически, усилиями кого и как был введен рассматриваемый математический объект.
УИЗ-5. Дано: 1) Набор математических утверждений:
(а) Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противоположных сторон.
(б) Хорда, стягивающая угол, равна удвоенной линии синуса половины данного угла.
(в) Круг делится на 360 градусов.
(г) Солнце движется вокруг Земли.
2) Исследуемые изолированные утверждения:
(а) (Теорема Евклида) У четырехсторонников в кругах противоположные углы вместе равны двум прямым.
(б) sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b.
(в) При стереографической проекции углы между линиями не меняются.
(г) (Теорема Помпею) В окружность вписан правильный треугольник АВС. На дуге ВС взята произвольная точка М и проведены хорды АМ, ВМ, СМ. Доказать, что АМ = ВМ + СМ.
(д) sin 10 = 0,017268.
Задания могут быть сформулированы, как в УСПР-5.
УСПР-6. (Мотивация изучения математики и обучения математике на историко-математической основе).
Дано: предназначенный к изучению раздел или тема школьной математики. Как использовать исторический опыт развития математики для мотивации изучения данного материала.
Задания.
1. Определите цели изучения данной темы. Какое место в системе математических знаний занимает эта тема?
2. Проведите историко-математический анализ темы. Определите, в какие исторические периоды развития математики возникли соответствующие знания: понятия, методы, теории? Для решения каких практических задач или задач развития математической теории возникла необходимость в использовании данных объектов математики?
3. Определите, как развивалась дальше данная теория. Какие трудности в понимании, практическом применении, теоретическом обосновании возникали?
4. Какой историко-математический материал предлагается в учебнике и методических пособиях для учителя? Выберите и адаптируйте соответствующий материал. Какие исторические задачи могут быть использованы для создания учебных ситуаций? Нельзя ли использовать историко-краеведческие задачи?
УИЗ-6. Дано: Тема «Сложение и вычитание положительных и отрицательных чисел» («Математика-6» Н.Я. Виленкина и др.).
Задания.
1. Проанализируйте тему по заданиям УСПР-6.
2. При историко-математическом анализе темы попытайтесь найти ответы на следующие вопросы:
Когда, где и при решении каких задач начали использовать отрицательные числа? Когда состоялось их полное признание? Почему они входили в практику очень долго? Как использовать этот факт в обучении математике в школе? Какие методы введения отрицательных чисел могут быть взяты из истории и применены в школьной практике? Как правила Брахмагупты, использующие «долг» и «имущество», могут быть применены в методике обучения отрицательным числам? Какие новые методы введения отрицательных чисел, сравнения чисел и операций над ними можете предложить вы? Какие трудности еще будут встречаться при применении отрицательных чисел в дальнейшем?
УСПР-7. (Понимание персоналистического потенциала математики. Восприимчивость к историческим личностям, проникновение в «лабораторию творчества»).
Дано: математик, имя которого встречается при изучении истории математики (особенно те математики, которые внесли существенный вклад в развитие классических разделов математики). Как его кратко и емко охарактеризовать?
Задания.
1. Определите историческую эпоху жизни математика. Как идентифицировать эту эпоху?
2. Кратко охарактеризуйте путь жизни. Обратите внимание на обстоятельства, которые привели его в математику.
3. Характеристика научного творчества. Основные труды и достижения. Именные теоремы и задачи.
4. Вклад в культуру. Характеристика личности. Воспитательные качества.
5. Определите, какое имеет отношение к разделам школьной математики.
Задания УИЗ-7 формулируется для конкретного математика.
УСПР-8. (Рефлексия, направленная на предмет истории математики или на историко-математическую деятельность).
Дано: математический факт, понятие, метод, содержащийся в историческом тексте, который предстоит изучить, или уже встречавшийся при изучении определенной темы.
Задания.
1. Оцените себя: что вы знаете об этом объекте с точки зрения математики и ее истории, то есть уровень владения как учебным математическим материалом и средством обучения.
2. Определите действия, которые предстоят вам для повышения этого уровня. Как вы будете взаимодействовать с преподавателем, с другими людьми для решения предстоящих задач?
3. Можно ли принять этот факт как культурную норму, как средство деятельности?
УИЗ-8. Дано: В математике и ее приложениях встречается термин «музыкальная пропорция».
Задания.
1. Можете ли вы ответить на следующие вопросы:
Почему она так называется? Где и кем она была введена? Можете ли вы ее доказать? Как она связана со средним гармоническим и гармоническим рядом? Какие средние величины использовались в математике раньше и какие используются теперь? Где встречаются средние величины в школьной математике? Известны ли Вам геометрические интерпретации средних величин (в круге, в трапеции)? При решении каких задач школьной математики можно использовать средние величины?
2. Если вы не смогли ответить на какой либо вопрос, где будете искать ответы? В каком случае обратитесь к консультанту или преподавателю?
3. Можете ли вы оценить важность и область применения средних величин в математике?
УСПР-9. (Способность к диалогу культур).
Дано: математический объект (понятие, метод, теория), частично вышедший из активного употребления.
Задания.
1. Изучите историю развития этого объекта. Можете ли вы объяснить причину такого хода событий в развитии математики?
2. Можете ли вы привести примеры математических объектов, вышедших из употребления? Почему это происходит? Надо ли заниматься изучением этих объектов математики?
3. Можете ли вы привести примеры математических понятий и методов, созданных впрок, которые нашли применение позже?
4. Какие классические методы математики получили новое применение в связи с информатизацией и компьютеризацией науки?
5. Нужно ли заниматься проблемами «чистой математики»?
УИЗ-9. Дано: Первые доказательства формул сокращенного умножения были выполнены геометрически. Почему?
Задания.
1. Можете ли вы ответить на следующие вопросы:
Где это было сделано? Почему математика стала развиваться геометрическим путем? Как называется такая математика? Можете ли вы объяснить доказательство формулы квадрата суммы? Можно ли доказать геометрически все остальные формулы сокращенного умножения?
2. Есть ли необходимость в школе пользоваться таким доказательством? Составьте фрагмент плана урока по данной теме с использованием геометрического доказательства.
3. Еще какие задачи курса алгебры можно решать геометрически? Как связаны эти задачи с теорией построения циркулем и линейкой?
4. Известны ли вам три классические задачи древности, не разрешимые циркулем и линейкой? Зачем нужно было пытаться их решить? Какую ценность они представляют для математики?
УСПР-10. (Оценка взаимосвязанного развития математики и математического образования).
Дано: историко-математический объект (понятие, метод, теория, деятельность ученого), находящийся в общем историческом пространстве науки и математического образования.
Задания.
1. Изучите историю развития этого объекта по прилагаемым документам и материалам.
2. Можете ли вы выделить характеристики и качества и изучаемого объекта, относящиеся к предмету методики обучения математике и ее истории?
3. Какое отношение имеет исследуемый объект к современному уровню математического образования? Как применить данные идеи в обучении математике?
УИЗ-10. Дано: Среди исторических арифметических задач известна задача Пифагора: «Рассказывают, что на вопрос, сколько учеников посещают его школу, Пифагор ответил: «Половина изучает математику, четверть – музыку, седьмая часть пребывает в молчании, кроме этого, есть три женщины». Сколько учеников посещало школу Пифагора?».
Задания.
1. Каким образом содержание этой задачи может помочь описанию пифагорейской школы? Познакомьтесь с ней по книгам «Пифагор» А.В. Волошинова и «Пифагор. Золотой канон. Фигуры эзотерики» А.К. Шапошникова.
2. Какие предметы изучались в этой школе? Встречается ли эта система обучения в дальнейшей истории учебных заведений? Изучите, например, историю Академии Платона, Ликея Аристотеля, Средневековой Европы (квадривиум).
3. Какие особенности методической системы Пифагора можете отметить? (Что могут означать слова «пребывают в молчании», «есть три женщины»). Почему знания пифагорейцев не должны были распространяться за пределы школы?
4. Что можно использовать из науки, математики и методики Пифагора в современной школе?
Конкретизированные задания подобных типов УСПР и УИЗ составляются по следующей схеме:
1) определяется система взаимосвязанных качеств, формирование которых запланировано на серию занятий или на весь курс обучения (тип УСПР);
2) эти качества переводятся в форму общих вопросов: что нужно сделать для формирования нужных качеств?
3) используя намеченный к изучению программный материал, подбирается необходимый массив содержательных данных и на него налагается серия сформулированных ранее вопросов.
Подобным образом составленные УИЗ и соответствующие ПК при введении их в учебный процесс окажутся ядром УСПР, так как свяжут воедино определенный фрагмент учебного материала, некоторые типы учебных действий студентов и направляющие их приемы деятельности преподавателя. В зависимости от реальных целей, в одном занятии могут быть использованы несколько УИЗ, определяющих взаимосвязанные УСПР.
Многие задания имеют комбинированный тип. Они предъявляются студентам в течение всего процесса обучения истории математики в связи с изучаемым материалом. Обсуждение заданий происходит обычно на семинарских занятиях. На зачете предъявляются новые задания. Варианты заданий имеются в пособиях, входящих в учебно-методический комплекс «История математики» [1].
Сформированные комплексы профессиональных качеств из всех подструктур исторического компонента профессиональной культуры и опыта могут быть оценены при помощи обучающих и контролирующих тестов. Они включают задания различных типов. Тесты содержат задания трех уровней.
К первому уровню относятся задания на фактологические знания. Они даются в закрытой форме с возможностью выбора или только одного, или нескольких правильных вариантов ответа.
Ко второму уровню мы относим творческие задания, предполагающие умение анализировать и делать выводы. Это задания открытой формы с прямым вводом ответа, а также задания на установление соответствия или порядка. На этом уровне уже используются задания методического характера, в том числе и из истории математического образования.
На третьем уровне используются задания с развернутым ответом. Приведем примеры первых двух типов заданий.
1. Задание закрытой формы с возможностью выбора только одного правильного варианта ответа: «Кто впервые изложил учение о десятичных дробях: (а) Диофант; (б) Архимед; (в) Аль-Каши; (г) Симон Стевин».
2. Задание закрытой формы с возможностью выбора нескольких правильных вариантов ответа: «Какие системы счисления описываются в учебнике «Математика-5» Н.Я. Виленкина и др.: (а) десятичная; (б) римская; (в) древнеславянская; (г) ионийская; (д) двоичная».
3. Задание открытой формы с прямым вводом ответа: «Чьи это слова: «Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит» – Это сказал…». При каких условиях это верно, а когда спорно?
4. Задание на установление порядка: «Установите правильную последовательность событий в истории геометрии: (а) создание первого систематического курса геометрии; (б) постановка знаменитых задач античности; (в) доказательство теоремы о сумме углов произвольного треугольника; (г) вычисление отношения объема шара к объему описанного цилиндра»
.
Список литературы
1. Гильмуллин, М.Ф. История математики: Учебное пособие [Текст] / М.Ф. Гильмуллин. – Елабуга: Изд-во ЕГПУ, 2009. – 212 с.
2. Жохов, А.Л. Мировоззрение: становление, развитие, воспитание через образование и культуру: Монография [Текст] / А.Л. Жохов. – Архангельск: ННОУ «Институт управления»; Ярославль: Ярославский филиал ИУ, 2007. – 348 с.
3. Жохов, А.Л. Познание математики и основы научного мировоззрения: мировоззренчески направленное обучение математике: Учебное пособие [Текст] / А.Л Жохов. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2008. – 183 с.
4. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учебное пособие [Текст] / Под ред. В.Д. Шадрикова. – М.: Гардарики, 2002. – 383 с.
5. Семенов, Е.Е. Размышления об эвристиках [Текст] / Е.Е. Семенов:// Математика в школе. – 1995. – №5. – С. 39-43.
6. Суходольский, Г.В. Основы психологической теории деятельности [Текст] / Г.В. Суходольский. – Л.: Изд-во Ленинградского ун-та, 1988. – 168 с.

Приложения
Таблица 1. СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ ИСТОРИЧЕСКОГО КОМПОНЕНТА МАТЕМАТИКО-МЕТОДИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ
Исторический компонент математико-методической культуры будущего учителя
составляющие исторического компонента математико-методической культуры
содержание (диагностируемые свойства и качества)
культуросообразные качества
СОДЕРЖАТЕЛЬНО-ЗНАНИЕВАЯ:
теоретические и практические знания и умения по истории развития математической культуры, необходимые для осуществления культуросообразного процесса обучения математике
умение давать содержательную характеристику математического факта и его связей с другими; владение историко-математическим анализом учебного материала;
следование логике воспроизводства, творения математических знаний; опыт познания и усвоения; обобщенные знания о мире математических объектов.
ДЕЯТЕЛЬНОСТНО-ОПЕРАЦИОННАЯ:
умения и навыки решения задач методики обучения математике с опорой на методологию и историю математики
профессионально-значимое усвоение историко-математических знаний и опыта их применения; доведение знаний и умений по истории математики до уровня средств обучения; речевые умения и привычки; усвоенные процедуры творчества;
умение порождать собственные произведения культуры как новые средства и способы профессиональной деятельности (для формирования мотивов и качеств познавательной деятельности учащихся).
ДИАЛОГОВО-РЕФЛЕКСИОННАЯ:
мотивы и потребности к изучению математики и ее истории; интерес к профессии учителя математики;
способности к рефлексии и оценке своей профессиональной деятельности, к самообразованию, творчеству на основе воспринятого опыта историко-математической деятельности;
изучение математики и обучение на основе культуропорождающей деятельности, актов взаимопонимания
осознанность учителем действенности применения историко-математических знаний к решению задач обучения; умение и опыт целеполагания;
рефлексия использования исторических фактов и текстов в своей математико-методической деятельности; фиксирование их; создание собственной системы обучения, основанной на историко-математических знаниях;
признание множественности и взаимопроникновения культур и их вклада в развитие математической культуры; опыт реализации мотивов, прогнозирования и самоорганизации деятельности в рамках предмета истории математики;
триединство мышления, коммуникации, действия; контроль и коррекция результатов обучения; осознанные нормы математической культуры.
Таблица 2. СТРУКТУРНО-ИНТЕГРАТИВНАЯ МОДЕЛЬ ИСТОРИЧЕСКОГО КОМПОНЕНТА ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ КУЛЬТУРЫ И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОПЫТА
Исторический компонент профессиональной культуры
и профессионального опыта будущего учителя
(составляющие профессиональной культуры)
СОДЕРЖАТЕЛЬНО-ЗНАНИЕВАЯ
ДЕЯТЕЛЬНОСТНО-ОПЕРАЦИОННАЯ
ДИАЛОГОВО-РЕФЛЕКСИОННАЯ
(составляющие профессионального опыта)
мотивы и потребности к изучению математики и ее истории;
обучение постановке целей, гипотезы и ее проверки, разрешения ситуаций, используя исторический опыт;
переосмысление знаний, приобретенных при изучении исторических текстов, с позиции учителя математики;
готовность к плюрализму мнений и позиций;
понимание необходимости теоретических знаний и овладения методологией науки;
понимание важности саморазвития;
оценка своего уровня профессиональной культуры, опыта и историко-математической деятельности.
воспроизводство, творение математических знаний, создание собственных произведений культуры;

использование личного опыта учащегося в приобретении математических знаний;
переосмысление знаний, приобретенных при изучении исторических текстов, с позиции учителя математики;
активное осмысление действий людей, включенных в решение конкретных задач математики;
понимание важности коллективной мыследеятельности в развитии математики;
восприимчивость к историческим личностям, понимание их образа жизни и проникновение в «лабораторию творчества»;
создание условий для саморазвития личности учащихся, используя опыт истории математики;
оценивание результатов труда с позиций норм и системы ценностей, выработанных в профессии учителя;
опыт контроля и коррекции результатов обучения;
создание собственной системы обучения, основанной на историко-математических знаниях.
ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЕ ЗНАНИЯ
ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЕ УМЕНИЯ
ПРОФЕССИОНАЛЬНЫЕ ПРИВЫЧКИ
о происхождении и практическом применении математических объектов, встречающихся в учебных текстах;
о происхождении и применении математических методов исследования и обучения;
об истории отечественной математики и математического образования;
о взаимосвязонном развитии математики и математического образования;
о содержательно-методическах линиях школьного курса математики;

о персоналистической линии истории математики;
об истории возникновения предмета каждой дисциплины школьного курса математики;
о предмете каждой учебной дисциплины классической математики и ее основоположниках;
об историко-математическом краеведении.
нахождение в известных источниках обоснованных ответов на вопросы об объектах знания;
характеристика свойств, состава и связей данного объекта с другими объектами на доступном языке, с учётом исторических фактов;
анализ исторических текстов, сопоставление полученной информации с известными сведениями;
анализ исторических задач с точки зрения их происхождения и применения в современных условиях;
построение теорий познаваемых объектов;
перенос выявленных в истории математики закономерностей на современность, прогнозирование;
выбор оптимального варианта изложения данной темы на основе историко-математического анализа изучаемого объекта;
привлечение историко-математических сведений для установления межпредметных связей;
методически грамотный отбор и адаптация историко-математического материала;
привлечение опыта использования историко-математических сведений других учителей;
разработка моделей уроков, их фрагментов с использованием исторического материала;
тематическое планирование системы уроков, связывая ее с историческим развитием данной темы;
организация внеурочной работы учащихся историко-математической направленности;
организация научно- и учебно-исследовательской работы учащихся с элементами истории математики.
постановка для каждого математического объекта вопросов о происхождении;
исследование этимологии каждого математического термина, символа; работа с этимологическими словарями;
ведение синоптической таблицы развития математики;
исследование истории развития каждой содержательно-методической линии школьной математики (числовая, функциональная, уравнений и неравенств, тождественных преобразований, геометрическая, стохастическая, алгоритмическая и др.);
выделение исторически возникших эвристик;
работа с новой методической литературой историко-математической направленности;
выдвижение возможных гипотез применения данного историко-математического факта.

Опубликовано:
1. Ярославский педагогический вестник. Серия «Гуманитарные науки»: научный журнал. – Ярославль: Изд-во ЯГПУ, 2009.– №3 (60). – 291 с.
2. Гильмуллин, М.Ф. Формирование исторического компонента математико-методической культуры студентов при обучении истории математики в педагогическом вузе: дис. ... канд. пед. наук: 13.00.02: защищена 23.12.09: утв. 28.05.10 / М.Ф. Гильмуллин; Ярославский государственный педагогический университет им. К.Д. Ушинского. – Ярославль, 2009. – 230 с.